2024-2025学年度第一学期期中学业水平考试高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上.一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）1.下列各式中，正确的个数是（）①；②；③；④；⑤；⑥.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题.【详解】因为，故①错；因为，故②对；因为，故③对；因为且，故④错；因为，故⑤错；因为，又且，故⑥错；所以正确的个数为个，故B正确.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可直接写出答案.【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是，故选：B.3.函数，则（）A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用配凑法，求出，令，代入计算可得答案.【详解】因为函数，所以，则.故选：A.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由且，求交集即可求得结果.【详解】因为函数的定义域为，则，解得，故函数的定义域为.故选：C.5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】若“”则是的充分条件；若“”则是的必要条件.【详解】当时，则无意义；当时，或，∴则“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解.【详解】因为，当时，；当时，；当时，；令，则由，得，由上述分析可得且，解得，即，所以且，解得.故选：D.7.已知，，，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，再结合基本不等式即可求解.【详解】，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以的最小值为.故选：.8.设函数，若，时，有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据得到，根据，，得到，求出解集.【详解】由得，即，变形为，因为，所以，因为，所以，解得.故选：C二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.下列命题是真命题的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质判断A、B、D，解方程，即可判断C.【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误；对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误；对于D：因为，所以，所以，，故D正确.故选：AD10.设正数，满足，则有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.【详解】因为正数，满足，对于A，，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，由B知，，则，故C错误；对于D，因为，则，所以，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立，此时，，故D正确.故选：ABD.11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（）A.当时，B.C.不等式的解集为D.函数的图象与轴有4个不同的交点，则【答案】ACD【解析】【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为4个点的的取值范围.【详解】当时，，由题意可知，A选项正确；由题意可知：，B选项错误；∵fx=32−x−1,x<00,x=01−32+x,x>0，令，则或；令，则或；∴，即或，即或，C选项正确；令，即函数的函数图像如下：由图像可知，当和存在4个交点时，，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛，本题已知分段函数的奇偶性和其中某个区间的解析式，通过奇函数的性质可以求出整个函数的解析式，由此可以借助函数图像来解决一些函数相关的问题.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）12.已知，，则______.（用数字作答）【答案】45【解析】【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得.详解】由，可得，又，则.故答案为：45.13.已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件判断函数的单调性，根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解之即可．【详解】对任意的实数，都有，即异号，故是上的减函数；可得：，解得．故答案为：14.用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______.【答案】5【解析】【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果.【详解】解得或，即，∵，∴或，方程可整理为，①当时，即方程组只有一个解，则，即，②当时，即方程组只有三个解，显然时不成立，∴，即方程有两个不同的解，⑴当方程只有一个实根时，，，⑵当方程有二个不同实根时，Δ=2a2−4×6>0，或，显然不是的实根，则是方程其中一个实根，则，解得，综上所述：.∴.故答案为：5【点睛】方法点睛，在讨论含参方程的根的个数时，需要分类讨论.而本题集合是由两个二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分别讨论根的个数，注意两个方程可能出现相同的实数根.四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.）15.（1）已知正数满足，求下列各式值：①；②.（2）求值：.【答案】（1）①；②；（2）【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质找到目标式与条件的关系求值.（2）由对数运算性质化简求值即可；【详解】（1）因为正数满足，所以①；②，又，所以.（2）.16.已知全集，集合，集合.（1）当时，求，；（2）已知是的子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合，因为求得，进而可求，；（2）因为是的子集，分与两种情况讨论可求得的取值范围.【小问1详解】由，得，解得，所以，当时，，所以或，所以，或x>1=x|1−1a+2<2，解得，综上所述：实数的取值范围为17.某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；（2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？（3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）（2）单价定为元时利润最大，最大利润为元（3）【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案.（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价.（3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值.【小问1详解】设，由图可知，函数图象过点，所以，解得，所以，由解得.所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.【小问2详解】若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，则，则利润，其开口向下，对称轴为，所以当时，利润取得最大值为，所以当单价为元时，取得最大利润为元.【小问3详解】由（2）得利润，又该商品每天获得的利润不低于1280元，则，整理得，即，解得，销售量是减函数，所以当时，销售量最小，且最小值为件.18.已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为.（1）求此二次函数的解析式；（2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围；（3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得.（2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围.（3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可.【小问1详解】由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根，因此，所以函数的图象开口向上，其对称轴为，而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为，于是，解得，所以此二次函数的表达式为，即.【小问2详解】由（1）知不等式为，整理得，即，依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则，当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去；当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数，则，所以实数的取值范围是.【小问3详解】对，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，令，，则，解得，即实数的取值范围为.19.若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.（1）函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由；（2）已知函数是在上的“美好函数”，求的值；（3）已知函数是在上的“美好函数”，求的值.【答案】（1）不是，理由见解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）求出函数的最值，即可判断；（2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可；（3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对分类讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.【小问1详解】因为，则在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以，，则，所以不是在上的“美好函数”；【小问2详解】因为，，则在上单调递减，所以，，因为函数是在上的“美好函数”，所以，解得.【小问3详解】函数的定义域为，，所以为奇函数，根据对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，其中在上单调递减的证明如下：设，则，因为，所以，所以，所以，所以函数在上单调递减.当，即时在上单调递减，则，，所以，解得或（舍去），所以，即在上为“美好函数”；当时在上单调递增，则，，所以，方程无解，故舍去；因为，令，即，解得或，因为，，所以当时，在的最小值为，最大值不可能为，故不符合题意；当，即时在上单调递减，则，，所以，解得（舍去）或，所以，即在上为“美好函数”；当时，即时，在上单调递增，则，，所以，方程无解，故舍去；因为，令，即，解得或，因为，，所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意；综上可得或.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给“美好函数”的定义，结合函数的单调性求出函数的最值.