梅州市高中期末考试试卷（2025.1）高一数学注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.设集合，，则满足的集合有（）种情况A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】列举集合含有两个元素的子集，可得结果.【详解】因为集合含有两个元素的子集有：，，共3个，所以集合有3中情况.故选：C2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式可得，且，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分式的分母不为0求的取值范围即可.【详解】由题意：，所以所求函数的定义域为：.故选：B4.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义可求得，再根据诱导公式化简求值即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：D5.图1是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．图2是会徽的几何图形，设的长为，的长为，若，，且，则几何图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求的长，利用扇形的面积公式求解.【详解】因为，，由得：.所以几何图形的面积为：.故选：B6.函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的性质，把函数不等式转化成代数不等式求解.【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减.所以或，即或.所以所求不等式的解集为：.故选：C7已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等式构造函数，根据函数单调性，可得答案.【详解】由，令，易知函数在上单调递增，由，，则；由，令，易知函数在上单调递增；由，，则.综上可得故选：D.8.每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（）A.加固定金额的方式 B.加固定体积的方式 C.两种方案一样 D.要视具体价格而定【答案】A【解析】【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为，则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：，因为，所以，即甲方案更经济．故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列等式正确的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据诱导公式化简可判断ABC的真假；根据同角三角函数的商数关系结合诱导公式可判断D的真假.【详解】对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D正确.故选：ACD10.下列命题是真命题的是（）A.， B.，C.，使得 D.，且，使得【答案】AC【解析】【分析】结合配方法及全称量词命题的概念判断A，举例结合全称量词命题和存在量词命题的概念判断BC，结合幂函数的单调性及存在量词命题的概念判断D.【详解】，恒成立，故A正确；当时，，故B显然错误；当时，，故C正确；因在上单调递增，由可得，故D错误．故选：AC11.高斯函数表示的是不超过实数x的最大整数，，则下列结论正确的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据高斯函数的概念，可判断A的真假；分别计算，，判断BCD的真假.【详解】对A：根据高斯函数的概念，成立，所以A正确；对B：因为，所以，故B错误；对C：因为，故C正确；对D：当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.所以，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：对D选项，要分析的值对的影响.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．【答案】4【解析】【分析】利用函数解析式求函数值.【详解】因为，，所以.故答案为：413.放射性物质原子核数的衰变规律是：，其中指初始时刻的原子核数，t为衰变时间，T为半衰期，N为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为、（单位：天），若两种物质的初始原子核数相同，512天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4倍，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定信息，列出方程化简求得答案.【详解】依题意，，整理得，则，所以.故答案为：14.函数的定义域为R，满足，且当时，，则______；时，______．【答案】①.16②.【解析】【分析】根据，可得，进行求值；又时，，，即可得解.【详解】根据题意，，则；时，，则.故答案为：16；四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则进行计算.（2）根据对数的概念和运算法则进行计算.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．16.设函数，．（1）解方程：；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的值域．【答案】（1）或（2）单调减区间为，单调增区间为（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的周期性以及特殊角的正弦值，可得答案；（2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数以及一次函数的单调性，建立不等式，可得答案；（3）利用整体换元整理函数，根据正弦函数的单调性，可得答案.【小问1详解】由，即得，从而或者，解得或者，所以方程的解集为或．【小问2详解】因为关于在上单调递增，在上单调递减，关于在上单调递增．令，得．所以，的单调增区间为．令，得．所以，的单调减区间为．综上，的单调增区间为，单调减区间为．【小问3详解】由，得．由函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，即时，，当，即时，，因此，在区间的值域为．17.已知函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值；（2）对于参数，解关于x的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式解集确定方程的根，利用韦达定理列方程求解即可；（2）结合二次函数的图象与性质，按照判别式的符号分类讨论求解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为关于的不等式的解集为，可知方程的两根为，．由韦达定理，可知，解得．【小问2详解】令，①当，即时，函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上．因此，不等式的解集为．②当，即或时，函数图像与轴有两个交点，且开口向上．令，则方程有两个不等实根，为：，.可知，不等式的解集为：或.综上所述，①当时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为或.18.已知函数（），且，其中为奇函数，为偶函数．（1）求在上的最值；（2）求和的解析式；（3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围．【答案】（1）最小值为，最大值为4（2），（3）【解析】【分析】（1）先利用二次函数求解内层函数的最值，然后再利用指数函数的单调性求出外层的最值，即可得解.（2）结合函数的奇偶性，利用方程组法求解析式.（3）依题意，，利用换元法将原问题转化为在存在零点，然后利用二次函数根的分布列不等式求解即可.【小问1详解】依题意，，的图象是开口向上，以为对称轴的抛物线，则当时，取得最小值，又函数单调递增，从而的最小值为，当时，取得最大值2，从而的最大值为，即4．【小问2详解】因为①，以代入，可得，因为为奇函数，有：，为偶函数，有：，于是有②，联立①和②，解得：，．【小问3详解】依题意，.当，由在上单调递增可知，，要使在上存在零点，即要在存在零点，又是开口向下的抛物线且，则需或，解得，所以满足题意的实数的取值范围为．19.已知集合具有性质对任意、，与至少有一个属于集合．（1）判断集合和是否具有性质，并说明理由；（2）已知具有性质，当时，求集合；（3）已知具有性质，求证：．【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质；理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中性质的定义验证即可；（2）根据可得出，再由，可得出，由此可得出集合；（3）根据，可求出，由不等式的性质可得，结合，可推导出，，，，，再结合累乘法可推出结论成立.【小问1详解】集合中，因为，，，，，，，所以集合具有性质；集合中，因为，，所以集合不具有性质．【小问2详解】因为，且具有性质，所以，，则，又因为，所以，则，由集合的互异性知，而，所以，故．【小问3详解】因具有性质，所以，则，则．又因为，所以，又因为，所以，则，所以，，，，，所以，即，因此，．