福州三中2024-2025学年第二学期高三第十四次质量检测数学试卷第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．已知A=−1,，Bxax=+={10}∣，若ABB=，则实数a的取值构成的集合是()2A．{−1,2}B．{−2,1}C．{−2,0,1}D．{−1,0,2}1【解析】由得BA．当a=0时，B=，满足；当a0时B=−，因为，a111所以−=−1或−=，解得a=1或a=−2．故选：C．aa22．设，是两个平面，m，n是两条直线，若m，n，则“∥”是“m//，n//”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若m//，，则,可能平行，也可能相交，故∥不一定成立，若，则，，故是，的充分不必要条件．故选：A．π3．已知向量ab,的夹角为，且a=1，b=3，若与向量b垂直的非零向量c满足ca=+b（其中3,)R，则=11A．−B．1C．6D．−362【解析】由，bc⊥，得b=+=+=cbaba(bb)0．π3231又abab==cos，b=9，所以+=90，整理，得=−．故选：D．322614．已知数列bn满足b1=2，bbnnnn−=−122()，设数列的前项和为Tn，则T10=bn9101112A．B．C．D．10111213【解析】因为bbnnnn−=−122()，且b1=2，(22nn+)2所以当n2时，bbbbbbn=+−+−12132()()++−=+(bbnnn+++==+)2462．nn−122因为也满足bn=+nn，所以．1111==−111111110因为，所以Tn=11−+−++−=−．所以T10=−1=．bnnnnn(++11)22311nnn++1111故选：B．239295．已知(1++++++=++x)(1x)(1x)a0a1xa2x++a9x，则a2的值为A．60B．80C．84D．1202222【解析】由题知a2=++++=+++++++=C2C3C4C91361015212836120．故选：D．试卷第1页，共11页{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}216．已知sin2(+=)，coscos(+=)，则tantan++=()()323234A．B．C．D．234321【解析】因为sin2,coscos(+=+=)()，32sinsinsincoscossin(++++)()()所以tantan++=+=()coscoscoscos(++)()2sin++()sin2(+)4====3．故选：D．coscoscoscos3++()()127．如图，正方形A1B1C1D1的边长为1，取正方形各边的四等分点A2222B,,C,D，得到第2个正方形A2222BCD，再取正方形各边的四等分点A3333B,,C,D，得到第3个正方形A3333BCD，依此方法一直进行下去，若从第k个正方形开始它的面积1小于第1个正方形面积的，则k=（参考数据：lg20.3）50A．8B．9C．10D．11223110【解析】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为+=，4442a105所以其公比为10．设第n个正方形的面积为a，则n，n==(n2)4an−1485n−1151n−151a=1aan−1lglg当n=1时，1，所以an=，由n1，得，所以()，850850850−−−−−lg50lg51lg220.3−2(1−−lg21)即n−18.5====，lg5−−−−−−lg8lg53lg21lg23lg214lg2140.3所以n9.5，所以k=10．故选：C．88．若函数fx()满足对任意nN*，恒有fnn()2，且fxyfxfyxy(+=++)()()4，则fi()的最小值是i=1A．408B．400C．204D．200【解析】因为fxyfxfyxy(+=++)()()4，所以fxyxyfxxfyy(+−+=−+−)2()22222()().设gxfxx()=−()22，那么gxygxgy(+=+)()()，因此g(ng)=−+=−++=−+ngg(nggg11211221)ng()()()()()()==+−==−gngngnf(221112)()()()()，8888222因此f(n)=2n+f(1)−2n2n，取，得到f(12)，所以f(i)=2i+[f(1)−2]i2i=408，i=1i=1i=1i=18所以fi()的最小值是408．故选：A．i=1试卷第2页，共11页{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．29．已知ab，R，关于x的方程xax+b+=0的一个根是z1=−12i，另一个根是z2，其中i是虚数单位，则下面四个选项正确的有()A．复数z1对应的点在第四象限B．ab=−10C．zz12=D．zz12【解析】复数，复数对应的点为(1,2−)，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确；已知，关于的方程的一个根是，则(12i12i0−+−+=)2ab()，ab+−=30a=−2整理得(aba+−−+=324i0)()，所以；解得：，所以，，故B正确；24a0+=b=5由ab=−=25，得方程xx2−2+5=0，又知道一个根是，所以，结合韦达定理，可得另一个根是z2=+12i，所以，，故C正确；两个虚数不能比较大小，故D错误．故选：ABC．10．已知函数fxx()=+tan()在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是2A．=，=+kkZ()63B．fx()的单调区间为：(65,61,kkkZ−+)C．g(x)=−f(x)2在区间−4,4上有且仅有2个零点D．先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数【解析】对于A，f(03)=，故tan=3=+k,kZ，上两点0,32,3、−有对称中心311()()kk22(1,0)，故有渐近线x=1，所以+==−−k，由于k1不影响的取值，不妨令其为22310，而T=303，所以k=1，，A错误；2对于B，不妨设fxx()=+tan，−+++kxkxkkk−+(65,61,Z)，B正确；632632对于C，x轴以下的图象翻折上去，作出fx()的图像，与直线y=2有2个交点，C正确；5对于D，变换后：hxx()=+tan不是奇函数，D错误．故选：BC．121211．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”Cxx：yy22++−=222590，则A．曲线C关于直线yx=对称B．曲线有4个顶点27C．曲线与直线yx=−+3有4个交点D．曲线上动点P到原点距离的最小值为5【解析】对于A，将xy,交换方程依然成立，所以曲线关于yx=对称，A正确；对于B，易得曲线有四条对称轴x轴，y轴，直线，直线yx=−，共有8个顶点，B错误；试卷第3页，共11页{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}2222xxyy++−=259022对于C，由得xxxx22+−++−+−=253390()()，yx=−+3即253230xxxx2(−++−=)2()，可得xxxx(−−+=3257520)(2)，对于方程257520xx2−+=，=−−(75)425202，则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3，所以方程有4个不等实根，从而曲线C与直线yx=−+3有4个交点，C正确；9−x2对于D，由xxyy2222++−=2590得y2=，25x2+12222229−+xx2512262251226222262x+x+y=x+2=+−−=−2，25x+12525(25x2+1)252525252525251(x2+)25x2+1226=22261−2222262当且仅当2，即x=时取等号，则xy+的最小值为−，2525(25x+1)25252522262曲线C上动点P到原点距离的最小值−，D错误．故选：AC．2525第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上．12．一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为a，b，在已知ab+8的条件下，ab的概率为___________．【解析】设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为，，则样本空间={(,),{1,2,3,4,5,6}}aba∣b，其包含的样本点有36个.记事件A=“ab+8”，则事件A包含的样本点为(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共10个.记事件B=“ab”，则事件AB=“ab+8且ab”，其包含的样本点有4个，为，，，.所以PAB()422由条件概率公式知PBA()∣===.故答案为：．PA()105513．已知fxxx()=−+5sin，则满足f(a2)+f(−40)的实数a的取值范围是．【解析】因为f(x)=−5x+sinx，该函数的定义域为R，fxxxxxfx(−=+−=−=)5sin5sin−()()，故函数fx()为奇函数，因为fxx()=−cos50对任意的xR恒成立，所以函数在上为减函数，2由faf(2)+−(40)可得f(a)−f(−44)=f()，所以a24，解得−22a，即实数a的取值范围是(−2,2)．故答案为：．14．双曲线C的两个焦点为F1，F2，以的实轴为直径的圆记为D，过作的切线与的左右两支分别交3于M,N两点，且cos=FNF，则的离心率为．125xy22【解析】不妨设双曲线C的标准方程为−=1(ab0,0)，则Fc1(−,0)，Fc2(,0)，F12F=2c，ab22PDa设过的直线与圆D相切于点P，则在RtF1PD中，PD=a，F1D=c，sinPF1D==，F1Dc试卷第4页，共11页{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}34cos=FNF，sin=FNF且点N位于双曲线的右支，如图所示，125125NFF212F在△F12NF中，由正弦定理得=，sinsinNF1212FFNFa2cFFNFsinF59NFa===1212c，NFN−=Fa2，NFa=，24121sin2F12NF25222在中，F12121212FNFNFNFNFF=+−NF2cos，2229595322c1313即42caaaa=+−，化简得4ca13=，即e==．故答案为：．22225a22四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数f(x)=x3−ax2−a2x+1.（1）当a=2时，求曲线yf=x()在点(1,(1)f)处的切线方程；（2）讨论fx()的单调性．解：（1）当a=2时，fxxxx()241=−−+32，则