九江市2023年第一次高考模拟统一考试数学试题(理科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则(A)A. B. C. D.解:,,故选A.2.复数满足,则的虚部为(A)A. B. C. D.解:,虚部为,故选A.3.若实数满足约束条件,则的最大值为(D)A. B. C. D.解:由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.易知目标函数的最大值在处取得,.故选D.4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出,由HYPERLINKhttps://baike.baidu.com/item/%E8%8E%B1%E6%98%82%E5%93%88%E5%BE%B7%C2%B7%E6%AC%A7%E6%8B%89?fromModule=lemma_inlink\thttps://baike.baidu.com/item/%E5%B7%B4%E5%A1%9E%E5%B0%94%E9%97%AE%E9%A2%98/_blank莱昂哈德·欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出:.某同学为了验证欧拉的结论,设计了如右算法计算的值来估算,则判断框填入的是(D)A. B.C. D.解:由程序框图可知,最后一次进入判断框时,,执行最后一次循环体,,,输出sum,故选D.5.设等比数列的公比为,前项和为,则“”是“为递增数列”的(B)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:若,,则为递减数列.若为递增数列,则,,.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选B.6.已知是边长为的等边三角形,且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为,则到平面的距离为(B)A. B. C. D.解:,球的半径,设的外心为,从而,所求距离,故选B.7.已知函数的定义域为,若为偶函数,且,,则(A)A. B. C. D.解:由,令得.令,得,,.因为为偶函数,,即,曲线关于直线对称.又,图像关于点中心对称,的周期.,,.故选A.8.已知双曲线(),过点作的一条渐近线的垂线,垂足为,过点作轴的垂线交于点,若与的面积相等(为坐标原点),则的离心率为(C)A. B. C. D.解:与的面积相等,为的中点,故为等腰直角三角形,,,,即,,,故选C.9.在正方体中,点为棱上的动点,则与平面所成角的取值范围为(C)A. B. C. D.解:设,连接,平面,即为与平面所成角.设,,,,,故选C.10.已知为单位向量,则向量与夹角的最大值为(A)A. B. C. D.解:设,则,令,,,当且仅当时取等号,向量与夹角的最大值为.故选A.11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神,某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人,女生30人,根据统计分析,男生组成绩和女生组成绩的方差分别为.记该班成绩的方差为,则下列判断正确的是(D) A. B. C. D.解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为,则,,,,,,故选D.12.若对,不等式恒成立,则实数的取值范围是(C)A. B. C. D.解:由已知得:,,.令,则,求导得,在上单调递增,在上单调递减,且当时;当时,.,,,由及的图象可知,恒成立,即成立,而,,故选C.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等差数列的前项和为,若,,则7.解:依题意得,解得,.14.2022年11月8日,江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕,这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间,有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为.解:.15.已知函数()的最小正周期为,的图像关于点对称,.若在上存在最大值2,则实数的最小值是.解:,,,即,又,,,时,,画图可知:,解得,即.16.已知点分别是抛物线和圆上的动点,点到直线的距离为,则的最小值为.解:圆的标准方程为,,抛物线的焦点为,准线方程为,,,即的最小值为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)中,内角所对的边分别是,已知,.(1)求角的值;(2)求边上高的最大值.解:(1)由,得………1分由正弦定理,得………3分又,………4分即………5分,………6分(2)解法一:设边上高为,由余弦定理,得………7分即………8分,,即,当且仅当时,等号成立………10分………11分又,,边上高的最大值为………12分解法二:设边上高为,由正弦定理得,,………7分………8分因为,,………10分,,,………11分又,,边上高的最大值为………12分18.(本小题满分12分)如图,直角梯形中,,,,,将沿翻折至的位置,使得,为的中点.(1)求证:平面平面;DABCHDBFC(2)为线段上一点,若二面角的余弦值为,求线段的长.解:(1),,,平面,平面………1分又平面,………2分由直角梯形,,,,,得………3分又,平面,平面………4分又平面,平面平面………5分(2)取的中点,连接,,BDHFCEzyx,,又平面平面,平面,为的中点,为的中点,,又,………6分故以所在的直线分别为轴,建立如图空间直角坐标系,则,,,,,设,则………7分设平面的一个法向量为,,,,,令,得,,即………9分平面的一个法向量为………10分,解得或(舍)………11分即为的中点,故线段的长为………12分19.(本小题满分12分)飞行棋是一种竞技游戏,玩家用棋子在图纸上按线路行棋,通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣,往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节,当骰子点数大于或等于到达终点的格数时,玩家顺利通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点,其位置如图所示:终点后退3步甲乙前进1步(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率;(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次,且第3次无论是否通关,该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家再投掷骰子的次数为,分别求出的分布列和数学期望.解:(1)甲第1次抛掷未到达终点,其点数应小于4………1分若第1次掷出的点数为1,根据游戏规则,棋子前进1步后可再前进1步,到达距离终点差2步的格子,第2次掷出的点数大于1,即可顺利通关,其概率为………2分若第1次掷出的点数为2,棋子到达距离终点差2步的格子,第2次掷出的点数大于1,即可顺利通关,其概率为…………3分若第1次掷出的点数为3,根据游戏规则,棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步,又回到了原位,第2次掷出的点数大于3,可顺利通关,其概率为………4分故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为………5分(2)依题意得,,……7分,,………10分123123,………12分20.(本小题满分12分)MNABPF1F2xNyNON如图,已知椭圆()的左右焦点分别为,,点为上的一个动点(非左右顶点),连接并延长交于点,且的周长为,面积的最大值为2.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆的长轴端点为,且与的离心率相等,为与异于的交点,直线交于两点,证明:为定值.解:(1)的周长为,由椭圆的定义得,即………1分又面积的最大值为2,,即………2分,,,解得………3分椭圆的标准方程为………4分(2)由(1)可知,,………5分设,,,点在曲线上,………6分依题意,可设直线,的斜率分别为,则的方程分别为,,于是………7分联立方程组,消去整理,得,,………8分………9分同理可得:………10分,………11分为定值………12分21.(本小题满分12分)已知函数().(1)求证:曲线在处的切线斜率恒大于0;(2)讨论极值点的个数.解:(1)(),………1分令(),则,,易知在上单调递增,且………2分当时,,单调递减,当时,,单调递增,,在上单调递增………3分,,即曲线在处的切线斜率恒大于0………4分(2)令(),则,显然在上单调递增,由,得………5分当时,,单调递减;当时,,单调递增,………6分①当时,,,,在上单调递增,无极值点………7分②当时,,,,所以存在唯一的,使得,即………8分当时,,即,单调递增;当时,,即,单调递减.是的极大值点………9分又,由(1)知,且当时,,,,,即,,所以存在唯一的,使得,即………10分当时,,即,单调递减;当时,,即,单调递曾,是的极小值点………11分综上所述,当时,无极值点;当时,有一个极大值点和一个极小值点.………12分请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角).(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;(2)设,直线与曲线相交于两点,求的最大值.解:(1)由,得………1分由,,得直线的直角坐标方程为………2分由(为参数),两式相除得………3分,整理得曲线的普通方程为()………4分(2)解法一:直线经过点,的参数方程为(为参数),代入中,得………5分由,得………6分,………7分………8分,,,,当且仅当时,等号成立………9分故的最大值为………10分解法二:直线经过点,………5分由切割线定理得………7分,当且仅当为圆的直径时,等号成立………9分故的最大值为………10分23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知均为正实数,且.(1)求的最大值;(2)求的最小值.解:(1),又,,………1分………2分,当且仅当时,等式成立………3分即的最大值为………4分(2)令,,,则………5分,,,,当且仅当,即时,等式成立………6分由(1)知,………7分,………8分即,当且仅当时,等式成立………9分故的最小值为………10分
【理科数学(教师版)】2023江西省九江市2023年第一次高考模拟统一考试
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