【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷05考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据集合是集合的真子集可得答案.【详解】因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．2．复数的共轭复数（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由复数的运算可得，然后求其共轭复数即可.【详解】解：因为，则，故选：C.3．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据平移然后判断可知，简单判断可知结果.【详解】由已知可得，∴，∴．∵，∴的最小值是．故选：C4．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.5．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，所以可得：．故选：B.6．年月日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为、、…、的号码中选取个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，则第个被选中的号码为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据随机数表中的取数原则可得选项.【详解】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16,06,09,13,23.所以第5个被选中的号码为23.故选：C.7．已知函数，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.【详解】解：因为，则所以，则为偶函数，当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，即，解得或，所以的解集为故选：D.8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多选题9．已知点在圆上，点、，则（    ）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.10．如图，由到的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则（    ）A． B．元件1和元件2恰有一个能通的概率为C．元件3和元件4都通的概率是0.81 D．电流能在与之间通过的概率为0.9504【答案】ACD【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案.【详解】对于A，由题意，可得，整理可得，则，则，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为，则电流能在与之间通过的概率为，故D正确.故选：ACD.11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）A．B．的最小值为C．平面D．异面直线与，所成角的取值范围是【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C正确；设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D错误；故选：ABC12．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（    ）A．在上是“弱减函数”B．在上是“弱减函数”C．若在上是“弱减函数”，则D．若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.【详解】对于A，在上单调递减，不单调，故A错误；对于B，，在上，函数单调递减，，，∴在单调递增，故B正确；对于C，若在单调递减，由，得，∴，在单调递增，故C正确；对于D，在上单调递减，在上恒成立，令，，令，，∴在上单调递减，，∴，∴在上单调递减，，∴，在上单调递增，在上恒成立，∴，令，，∴在上单调递增，，∴，综上：，故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题13．在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的常数项为______．【答案】【分析】根据二项式定理可知各项系数和为，二项式系数和为，可求出，然后在判断展开式的常数项.【详解】解：由题意得：令，则，所以的展开式中，各项系数和为又二项式系数和为，所以，解得．二项展开式的通项，令，得所以展开式的常数项为．故答案为：．14．数列中，，，那么这个数列的通项公式是______．【答案】【分析】根据给定条件，判定数列是等差数列，再求出通项公式作答.【详解】数列中，因，即，因此，数列是等差数列，公差d=3，所以数列的通项公式是.故答案为：15．在锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若，则的取值范围是______．【答案】【分析】由正弦定理边角关系、和差角正弦公式可得，结合△为锐角三角形，可得及角A的范围，进而应用正弦定理边角关系即可求的范围.【详解】由题设，，而，所以，又，所以，且△为锐角三角形，则，可得，而.故答案为：【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A、C的关系及A的范围，最后由边角关系求范围.16．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，给出以下命题：①异面直线与所成的角不为定值；②平面平面；③三棱锥的体积为定值；④与平面垂直．其中真命题的序号为__________．【答案】②③④【分析】①由，，推出平面，知；②由，，推出平面，知，同理可得，进而证得平面，得解；③由，知平面，有为定值；④根据①中的证明，即可得解．【详解】解：①，，且，、平面，平面，平面，，即①错误；②，，且，、平面，平面，，同理可得，，，、平面，平面，平面，平面平面，即②正确；③，平面，平面，平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离，三棱锥的体积为定值，即③正确；④由①知，平面，而平面与平面是同一个平面，与平面垂直，即④正确．故答案为：②③④．四、解答题17．若，求：（1）的值；（2）的值．【答案】(1)2；(2).【分析】由已知等式整理可得，从而．由正弦化余弦，利用同角三角函数关系式即可得解．【详解】解：若，则，整理可得，从而．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基本知识的考查．18．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得时，再两式作差即可求出，再检验时是否成立，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）解：因为①，当时②，①②得，所以，经检验当时也成立，所以.（2）解：由（1）可得，所以.19．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.20．自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望．（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达