年河南省五市高三第二次联考２０２５数学参考答案一、选择题：本题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有８，５，４０，，一项是符合题目要求的．题号１２３４５６７８答案ＣＡＤＣＢＣＢＤ二、选择题：本题共小题每小题分共分在每小题给出的选项中有多项符３，６，１８，，合题目要求全部选对的得分部分选对的得部分分有选错的得分．６，，０．题号９１０１１答案ＢＤＡＢＤＡＣＤ三填空题：本题共小题每小题分共分．３，５，１５．３３{}１２．４ １３． １４．３，５，７４四解答题：本大题共个小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．５，７７，，分１５．（１３）解析设等比数列{ａ}的公比为ｑ由题意知【】（１）ｎ，：当ｎ时ａａｑｂ＝１：１＋２１＝２ ①当ｎ时ａａｑａｑ２ｂ分＝２：１＋１＋２１＝２ ②…………………………………２联立解得ａｂｑ１．分①②，１＝，＝……………………………………………………３２因为ｂ＝１，ｎæö－１所以数列{ａ}的通项公式ａç１÷．分ｎｎ＝èø………………………………………５２ｎæö－１由知ａｂç１÷分（２）（１）ｎ＝·èø……………………………………………………６２方法一故当ｎｎｎ１９时原式可化为：１９－＞，＜，２ａｎａｎａｎ．分＋１＋２…１９－＝１………………………………………………………………７ｎ２１９－２因为ａｎａｎａｎａｎａａａ所以ａｎａｎａｎａ＋１１９－＝＋２１８－＝…＝９１１＝１０，＋１＋２…１９－＝１０＝１；所以ａ．分１０＝１……………………………………………………………………９高三数学答案第页共页 １（７）{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}ｎ２－１９同理当ｎｎ即１９ｎ时原式可化为ａｎａｎａｎａ１９－＜，＜＜１９，２０－２１－…＝１０＝１，２所以ａ．分１０＝１……………………………………………………………………１１æö９所以ｂç１÷·èø＝１，２解得ｂ．分＝５１２……………………………………………………………………１３方法二：ｎｎ１＋２＋…＋（－１）１＋２＋…＋（１８－）ｎæöｎæö原式可化为ａç１÷ａ１９－ç１÷．分１·èø＝１·èø…………………７２２ｎｎｎｎ（－１）（１９－）（１８－）２２ｎæöｎæö即ａç１÷ａ１９－ç１÷．分１·èø＝１·èø…………………………………………９２２ｎｎ１８－９×１９９２－１９ｎæöææöö即ａ２－１９ç１÷çｂç１÷÷．分１·èø＝１，è·èøø＝１………………………………１１２２æö９所以ｂç１÷·èø＝１２解得ｂ．分＝５１２……………………………………………………………………１３．分１６（１５）解析因为四边形ＢＣＣＢ为菱形所以ＢＣＢＣ．分【】（１）１１，１⊥１……………………１因为ＡＢ平面ＢＣＣＢＢＣ平面ＢＣＣＢ所以ＡＢＢＣ．分⊥１１，１⊂１１，⊥１………………２又因为ＡＢ平面ＡＢＣＢＣ平面ＡＢＣＡＢＢＣＢ，⊂１，１⊂１，∩１＝所以ＢＣ平面ＡＢＣ．１⊥１因为ＡＣ平面ＡＢＣ１⊂１，所以ＢＣＡＣ．分１⊥１…………………………………………………………………６方法一（２）：因为ＢＢＣ°所以ＢＢＣ是等边∠１＝６０△１三角形取ＢＣ中点Ｍ连接ＢＭ则ＢＭ，，１，１⊥ＢＣ以Ｂ为坐标原点分别以ＢＭＢＣ１１，１，１，１１，ＢＡ所在的直线为轴轴和轴建立１１ｘ，ｙｚ，空间直角坐标系如图所示．，ａ设ＢＢａ则ＢＡ３ａ１＝，１（０，０，０），（，－，２２４），ａａＣａ．所以Ｂ→Ａ３ＢＣ→ａ．１（０，，０）１＝（，－，４），１１＝（０，，０）２２高三数学答案第页共页２（７）{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}ìïｍＢ→Ａ设平面ＡＢＣ的法向量为ｍｘｙｚ则í·１＝０１１＝（，，），ïîｍＢＣ→·１１＝０ïìａａï３ｘｙｚæａö即í－＋４＝０令ｘ得ｍç３÷．分ï２２＝１，＝……………………………９ïè１，０，－øîａｙ８＝０由条件知ＢＡ→为平面ＢＣＢ的一个法向量．分１１＝（０，０，４）１１……………………１０设二面角ＡＢＣＢ的平面角为θ易知θ为锐角．－１１－，ａ３ｍＢＡ→则θ｜·１１｜２２１解得ａ．分＝＝＝＝ｃｏｓｍＢＡ→ａ２，４………………………１３｜｜·｜１１｜３７４１＋６４因为三棱柱ＡＢＣＡＢＣ的高为ＢＭ且ＢＭ－１１１１，１＝２３，所以其体积ＶＳΔＡＢＣＢＭ１．分＝·１＝×４×４×２３＝１６３…………………………１５２方法二因为ＢＢＣ°所以ＢＢＣ：∠１＝６０，∠１１°＝１２０过Ｂ做ＢＯＢＣ交ＣＢ的延长线于Ｏ⊥１１１１，连接ＡＯ因为ＡＢＢＣ所以ＢＣ平面，⊥１１，１１⊥ＡＢＯ所以ＡＯＢＣ所以ＡＯＢ是二面角Ａ，⊥１１，∠－ＢＣＢ的平面角．分１１－………………………９所以ＡＯＢ２１所以ＡＯＢｃｏｓ∠＝，ｔａｎ∠＝７２３即ΑΒ２３因为ＡＢ所以ＯＢ，ＯＢ＝，＝４，＝２３３３在ＢＯＢ中解得ＢＢ．分△１，１＝４…………………………………………………１３又ＢＯ平面ＡＢＣ所以三棱柱ＡＢＣＡＢＣ的高为ＯＢ⊥１１１，－１１１，所以其体积ＶＳＯＢ１．分＝ΔＡＢＣ·＝×４×４×２３＝１６３…………………………１５２．分１７（１５）æｐö解析对于抛物线ｙ２ｐｘ其焦点坐标Ｆç÷分【】（１）＝２，è，０ø，……………………１２因为焦点Ｆ在直线ｘｙ上３－－３＝０，高三数学答案第页共页３（７）{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}ｐ所以３×－０－３＝０，２解得ｐ．＝２所以抛物线Ｃ的方程为ｙ２ｘ．分＝４………………………………………………３设直线ｌ的方程为ｘｍｙｎＡ(ｘｙ)Ｂ(ｘｙ)（２）＝＋，１，１，２，２。ｘｍｙｎ联立{＝＋把ｘｍｙｎ代入ｙ２ｘ得ｙ２ｍｙｎｙ２ｘ，＝＋＝４－４－４＝０，＝４所以Δｍ２ｎｙｙｍｙｙｎ．分＝１６＋１６＞０，１＋２＝４，１２＝－４…………………………………５因为ＡＢ在ｘ轴同侧所以ｙｙｎ所以ｎ．分，，１２＝－４＞０，＜０…………………………６方法一因为Ｆ()则Ｏ→Ｆ()Ａ→Ｆｘｙ)Ｂ→Ｆ(ｘｙ)：１，０，＝１，０，＝（１－１，－１，＝１－２，－２，所以Ｏ→ＦＡ→ＦＯ→ＦＢ→ＦＡ→ＦＢ→Ｆ(ｘ)(ｘ)[(ｘｘ)ｘｘｙｙ]·＋·－·＝１－１＋１－２－１－１＋２＋１２＋１２ｘｘｙｙ＝１－１２－１２＝－４，所以ｘｘｙｙ．分１２＋１２＝５………………………………………………………………７ｙ２ｙ２又ｘ１ｘ２１＝，２＝，４４ｙ２ｙ２所以１２ｙｙ即ｎ２ｎ＋１２－５＝０，－４－５＝０１６解得ｎ或ｎ舍去＝－１＝５（）所以ｎ．＝－１所以直线ｌ的方程为ｘｍｙ恒过定点．分＝－１，（－１，０）……………………………９方法二：因为Ｏ→ＦＡ→ＦＯ→ＦＢ→ＦＡ→ＦＢ→ＦＡ→ＦＯ→ＦＢ→ＦＯ→ＦＯ→ＦＢ→ＦＯ→Ｆ２Ａ→ＦＯ→ＦＯ→Ｆ·＋·－·＝（－）－（－）＋＝（－）（－Ｂ→ＦＯ→ＡＯ→Ｂｘｘｙｙ）＋１＝１－·＝１－１２－１２，所以ｘｘｙｙ１－１２－１２＝－４所以ｘｘｙｙ．分１２＋１２＝５………………………………………………………………７ｙ２ｙ２又ｘ１ｘ２１＝，２＝，４４ｙ２ｙ２所以１２ｙｙ即ｎ２ｎ＋１２－５＝０，－４－５＝０１６解得ｎ或ｎ舍去＝－１＝５（）所以ｎ．＝－１所以直线ｌ的方程为ｘｍｙ恒过定点．分＝－１，（－１，０）……………………………９高三数学答案第页共页 ４（７）{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}ｙ方法一直线ＯＡ方程为ｙ１ｘ４ｘ直线ＯＢ的方程为ｙ４ｘ（３）：＝ｘ＝ｙ，＝ｙ，１１２æｔöæｔö所以于Ｍçｔ４÷Ｎçｔ４÷è，ｙø，è，ｙø，１２因为ＡＮＢＭ所以直线ＡＮ与直线ＢＭ的斜率相等‖，，即ｋｋ分ＡＮ＝ＢＭ，……………………………………………………………………１１ｔｔ４ｙ４ｙｙ－１ｙ－２ｔｙｙｔｙｙ所以２１即４－１２４－１２．ｙ２＝ｙ２，ｙ２ｙ＝ｙ２ｙｔ１ｔ２ｔｙ１２ｔｙ２１－－２－１－４４４４因为ｙｙ１２＝４，ｔｔ所以４－４４－４．分ｔｙｙ＝ｔｙｙ……………………………………………………………１３２－１１－２即ｔｔｙｙ（－１）（＋１）（１－２）＝０所以ｔｔ（－１）（＋１）＝０，所以ｔ．分＝±１……………………………………………………………………１５方法二：ｙ直线ＯＡ方程为ｙ１ｘ４ｘ直线ＯＢ的方程为ｙ４ｘ＝ｘ＝ｙ，＝ｙ，１１２æｔöæｔö所以于Ｍçｔ４÷Ｎçｔ４÷è，ｙø，è，ｙø，１２因为ＡＮＢＭ所以有ＡＯＮＭＯＢ‖，△∽△ＯＡＯＮ所以．分ＯＭ＝ＯＢ……………………………………………………………１１ＯＡｘＯＮｔ因为１ＯＭ＝ｔ，ＯＢ＝ｘ，２ｘｔ所以１．ｔ＝ｘ２所以ｘｘｔ２．分１２＝…………………………………………………………………１３ｙ２ｙ２即１２ｔ２＝１６由知ｙｙｍｙｙ（２）１＋２＝４１２＝４，所以ｔ２＝１，所以ｔ．分＝±１……………………………………………………………………１５高三数学答案第页共页５（７）{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}．分１８（１７）解析【】ｘ函数ｆｘ(ｘ)１ｘ２的定义域为Ｒ（１）（）＝１－ｅ＋－１，２ｆ′ｘｘｘｘｘ(ｘ)．分（）＝－ｅ＝１－ｅ………………………………………………………２当ｘ时ｘ则ｆ′(ｘ)当ｘ时ｘ则ｆ′(ｘ)＜０，１－ｅ＞０，＜０；＞０，１－ｅ＜０，＜０，所以函数ｆ(ｘ)在(¥¥)上为减函数．分－，＋………………………………………５又因为ｆ()０＝０，故函数ｆ(ｘ)有且只有一个零点．分０……………………………………………６证明函数Ｆ(ｘ)的定义域为¥（ｉ）：（－１，＋），当ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)时Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ｆ(ｘ)⩾，＝＋＋－＝２，当ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)时Ｆ(ｘ)ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)ｇ(ｘ)＜，＝＋－＋＝２，所以Ｆ(ｘ){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}．分＝２ｍａｘ，…………………………………………………９由知当ｘ£时ｆ(ｘ)ｆ()（ｉｉ）（１），－１＜０，⩾０＝０，又Ｆ(ｘ){ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)}ｆ(ｘ)＝２ｍａｘ，⩾２，所以当ｘ£时Ｆ(ｘ)恒成立－１＜０，⩾０，因为当ｘ时ｆ(ｘ)ｆ()恒成立＞０，＜０＝０，所以Ｆ(ｘ)等价于当ｘ时ｇ(ｘ)恒成立分⩾０＞０，⩾０……………………………１２且ｇ′(ｘ)ｘａ．＝ｌｎ（＋１）＋１－若ａ£当ｘ时由ｇ′(ｘ)ｘａ１，＞０，＝ｌｎ（＋１）＋１－＞０，所以ｇ(ｘ)在(¥)上递增所以此时ｇ(ｘ)恒成立分０，＋，⩾０……………………１４ａ若ａ当ｘ时ｇ′(ｘ)ｘａ解得为ｘｅ－１＞１，＞０，＝ｌｎ（＋１）＋１－＜００＜＜－１，ａｇ(ｘ)在(ｅ－１)上递减此时ｇ(ｘ)ｇ()不符合题意．分０，－１，＜０＝０，………………１６综上可知存在实数ａ满足题意ａ的取值范围是(¥]．分：，－，１…………………１７．分１９（１７）解析由题意前次的得分分别为对对错或错【】（１），３２０（），４０（），１０（）１０（），２０对对分（），４０（），………………………………………………………………………２３所以甲前次答题的得分之和为分的概率为Ｐ１１．分３７０＝２×（）＝…………４２４甲第次答题得分分分的概率分别为１１（２）（ⅰ）１２０，１０，，２２则Ｅ(Ｘ)１１分１＝２０×＋１０×＝１５，…………………………………………………５２２高三数学答案第页共页 ６（７）{#{QQABCQSUogigQAJAABgCQwHQCgKQkBAAAaoOBBAUMAIBAQNABAA=}#}甲第次答题得分分分分的概率分别为１１１２４０，２０，１０，，，４４２则Ｅ(Ｘ)１１１分２＝４０×＋２０×＋１０×＝２０，…………………………………………６４４２甲第次答题得分分分分的概率分别为１１１１３８０，４０，２０，１０，，，，８８４２则Ｅ(Ｘ