数学解题二级结论大汇总1.元素与集合的关系xAxðUA,xðUAxA.2.德摩根公式痧U();()ABABABABUUU痧痧UU.3.包含关系ABAABBABBA痧UUABðUðUABR4.容斥原理card()ABcardAcardBcard()ABcard()ABCcardAcardBcardCcard()ABcard()()()()ABcardBCcardCAcardABC.n5．集合{,,,}a12aan的子集个数共有2个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f()xax2bxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零点式f(x)a(xx12)(xx)(a0).7.解连不等式Nf()xM常有以下转化形式[f(x)M][f(x)N]0MNMNf()xN|fx()|022Mf()x11.f()xNMN8.方程f(x)0在(,)k1k2上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在bkk内,等价于,或f(k)0且k12,或f(k)0且112a22kkb12k.22a29.闭区间上的二次函数的最值b二次函数f()xax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x处及区2a间的两端点处取得，具体如下：bb(1)当a>0时，若xp,q，则f()xf(),()fxf(),()pfq；2amin2amaxmaxbxp,q，f(x)f(p),f(q)，f(x)f(p),f(q).2amaxmaxminmin(2)当a<0时，若，则f(x)minminf(p),f(q)，若，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，.微信搜《高三标答公众号》10.一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(,)mn内至少有一个实根.设f()xx2pxq，则pq240≥（1）方程在区间(,)m内有根的充要条件为f(m)0或p；m2fm()0fn()0（2）方程在区间内有根的充要条件为或pq240≥pmn2fm()0fn()0或或；af(n)0af(m)0pq240≥（3）方程在区间(,)n内有根的充要条件为fm()0或p.m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)≥0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min≥0(xL).(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)≥0(为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man≤0(xL).a≥0a0(3)42恒成立的充要条件是≥或.f()xaxbxc0b02b40acc012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n1）个小于不小于至多有个至少有（n1）个对所有x，存在某，成立不成立p或qp且q对任何，存在某，不成立成立且或14.四种命题的相互关系微信搜《高三标答公众号》原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qp，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设x1x2a,,bx1x2那么f()()x1fx2(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是增函数；x1x2f()()x1fx2(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.x1x2(2)设函数yf()x在某个区间内可导，如果f(x)0，则f()x为增函数；如果f(x)0，则为减函数.17.如果函数f()x和g()x都是减函数,则在公共定义域内,和函数f()()xgx也是减函数;如果函数yf()u和ug()x在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[(gx)]是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数yf()x是偶函数，则f()()xafxa；若函数yf()xa是偶函数，则f()()xafxa.20.对于函数(xR),f()()xafbx恒成立,则函数f()x的对称轴abab是函数x;两个函数yf()xa与yf()bx的图象关于直线x对22称.a21.若f()()xfxa,则函数的图象关于点(,0)对称;若2f()()xfxa,则函数为周期为2a的周期函数.nn122．多项式函数P()xannxa10xa的奇偶性多项式函数Px()是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf()x的图象的对称性(1)函数的图象关于直线xa对称f()()axfax微信搜《高三标答公众号》f(2ax)f(x).ab(2)函数yf()x的图象关于直线x对称f()()amxfbmx2f()()abmxfmx.24.两个函数图象的对称性(1)函数与函数yf()x的图象关于直线x0(即y轴)对称.ab(2)函数yf()mxa与函数yf()bmx的图象关于直线x对称.2m(3)函数yf()x和yf1()x的图象关于直线y=x对称.25.若将函数的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf()xab的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.26．互为反函数的两个函数的关系f()abf1()ba.127.若函数yf()kxb存在反函数,则其反函数为y[()]f1xb,并不是k1y[()f1kxb,而函数y[()f1kxb是y[()]fxb的反函数.k28.几个常见的函数方程(1)正比例函数f()xcx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f()xax,f(xy)f()(),(1)xfyfa0.(3)对数函数f(x)logax,fxy()fx()fyfa(),()1(a0,a1).(4)幂函数f()xx,f(xy)f(x)f(y),f'(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，fxy()()()()()fxfygxgy，gx()f(0)1,lim1.x0x29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f()()xfxa，则f()x的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，1或f()xa(f(x)0)，f()x1或f()xa(fx()0),fx()1或f()xf2()xf(xa),(()fx0,1),则的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则的周期T=3a；f()xaf()()x1fx2(4)f()x1x2且f()1(()afx1f()1,0|x2x1x2|2)a，则1f(x1)f(x2)的周期T=4a；(5)fx()fxa()fx(2)(3)afxafx(4)afxfxafx()()(2)(afx3)(afx4)a,则的周期T=5a；(6)f()()()xafxfxa，则的周期T=6a.微信搜《高三标答公众号》30.分数指数幂m1(1)an（a0,m,nN，且n1）.namm1(2)n（，且）.ama0,m,nNan31．根式的性质（1）()naan.（2）当n为奇数时，naan；aa,0≥当为偶数时，naan||.aa,032．有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式b.logaNbaN(a0,a1,N0)34.对数的换底公式logmNlogaN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logmann推论logmbblog(,且a1,mn,0,且,n1,).ama35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;M(2)loglogMNlog;aNaan(3)logaaMnlogM(nR).2236.设函数f(x)logm(axbxc)(a)0,记b4ac.若f()x的定义域为R,则a0，且0;若的值域为R,则，且≥0.对于a0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广1若,b0,x0,x,则函数ylog(bx)aax11(1)当ab时,在(0,)和(,)上为增函数.aa，(2)当ab时,在和上为减函数.推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.微信搜《高三标答公众号》mn（2）logmnloglog2.aaa238.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x.39.数列的同项公式与前n项的和的关系sn1,1an(数列{}an的前n项的和为snna12aa).snns1,2n≥40.等差数列的通项公式*ana11(n1)ddnad()nN；其前n项和公式为n()aann(1)s1nnadn212d1n2()adn.22141.等比数列的通项公式aaaqnn1*1q()nN；n1q其前n项的和公式为aq(1n)1,1qsn1qna1,1qaaq1n,1q或sn1q.na1,1q42.等比差数列an:ann11qad,ab(q0)的通项公式为b(n1)d,q1nn1anbq()dbqd；,1qq1其前n项和公式为nbn(n1)d,(q1)nsnd1qd.()bn,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).(1b)n144．常见三角不等式(1)若x(0,)，则sinxxtanx.2微信搜《高三标答公众号》(2)若x(0,)，则1sinxxcos≤2.2(3)|sinxx||cos|≥1.45.同角三角函数的基本关系式sinsin22cos1，tan=，tancot1.cos46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）nn(1)2sin,(n为偶数)sin()2n