高考数学开放性、探究性、应用性建模创新题精选一、单选题1．某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者2．高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数的性质叙述错误的是（）A．值域为Z B．不是奇函数C．为周期函数 D．在R上单调递增3．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（）A． B．600 C． D．4．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）（）A．9 B．8 C．7 D．65．如图所示，“伦敦眼（TheLondonEye）”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，同时也是伦敦的地标.“伦敦眼”为庆祝新千年2000年而建造，因此又称“千禧摩天轮”.乘客可以乘坐“伦敦眼”升上半空，鸟瞰伦敦.“伦敦眼”共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因宗教忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等.已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入，后距离地面的高度，“伦敦眼”的旋转半径为，最高点距地面，旋转一周大约，现有甲乘客乘坐号乘坐舱，当甲乘坐“伦敦眼”时，乙距离地面的高度为，则乙所乘坐的舱号为（）A．或 B．或C．或 D．或6．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（）A． B． C． D．7．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为.若在区间上，恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”.已知实数是常数，.若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大为（）A．3 B．2 C．1 D．-18．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马（如图），平面.，，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、多选题9．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②的模（表示向量，的夹角）在正方体中，有以下四个结论，正确的有（）A． B．C．方向相同 D．与正方体表面积的数值相等10．定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前项和为，则（）A．数列为等差数列 B．数列为递减数列C． D．，，成等差数列11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A．该半正多面体的体积为B．该半正多面体过三点的截面面积为C．该半正多面体外接球的表面积为D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（）A．的蒙日圆的方程为B．对直线上任意点，C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为三、填空题13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为，则的数学期望为___________.14．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．15．如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.16．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为___________.四、解答题17．在中，内角所对的边分别为，若，，且.（1）求角的大小;（2）在①成等差数列，②成等差数列，③成等差数列这三个条件中任选一个作为已知条件，求的面积.(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．已知函数.（1）求在上的单调递增区间；（2）若对，恒有成立，且______，求面积的最大值.在①的外接圆直径为4，②是直线截圆所得的弦长，③这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中，，分别为的内角A，，所对的边.19．已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）若点，是椭圆上异于短轴端点的两点，点满足，且，试确定直线，斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.20．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，．（1）若函数为上的凸函数，求的取值范围；（2）若函数在上有极值，求的取值范围．21．已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.（1）当时，求证：；（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.22．如图，在多面体中，侧面为菱形，平面，平面，，是的中点，为棱上的动点，．（1）证明：平面平面；（2）当点位于棱的什么位置时，面与面，所成的二面角的正弦值最小？答案与提示：1．A：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A.2．D由高斯函数的定义可知其值域为Z，故A正确；不是奇函数，故B正确；易知，所以是一个周期为1的周期函数，故C正确；当时，，所以在R上不单调，故D错误．故选：D3．C莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长为，故其侧面积为．故选：C.4．C由题意知：分钟，故选：C.5．C因最高点距地面，则，而“伦敦眼”的旋转半径为，则最低点距地面，则有，于是可得，又“伦敦眼”旋转一周大约，得周期，解得，因此，，而，即，又，则有，于是得，令，解得或，依题意，每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角，则后一个乘坐舱转到相邻前一个乘坐舱位置用时，当时，乙比甲晚出发，甲乙相差个乘坐舱，由于没有13号，此时乙在16号乘坐舱，当时，乙比甲早出发，甲乙相差个乘坐舱，此时乙在7号乘坐舱，所以乙所乘坐的舱号为7或16故选：C6．B：在中，因为，，所以，又与互补，所以，在中，由余弦定理得：，即，即，因为，所以，所以，当且仅当时，取等号，所以观光线路之和最长是4.故选：B.7．B由题意，，，根据“凸函数”的定义，原问题可以转化为：即对任意的恒成立，将m视作自变量，x视作参数，则，解得，解得，由，故.故选：B.8．A：如图所示，把，剪开，使得与矩形在同一个平面内．延长到，使得，则四点，，，在同一条直线上时，取得最小值，即空间四边形的周长取得最小值．如图所示，可得，．,,,设的外心为，外接圆的半径为，则．设三棱锥外接球的半径为，则．三棱锥外接球的表面积．故选：．9．ACD设正方体的棱长为，对于A，如图，因为为等边三角形，故，因为，而为等边三角形，故，故A正确.对于B，根据定义，，，两者不相等，故B错.对于C，因为平面，结合外积的定义可得的方向即为的方向，故C正确.对于D，，故它与正方体的表面积相同，故选：ACD.10．AC由．得①，所以当时，②，①-②得当时，，即当时，，当时，由①知，满足，所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错误．又，所以，故C正确．，，，故D错误，故选：AC．11．ACD如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：，故正确；对于B，过三点的截面为正六边形，所以，故错误；对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故正确；对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确.故选：ACD12．AD对于A，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，在蒙日圆上，蒙日圆方程为：；由得：，的蒙日圆方程为：，A正确；对于B，由方程知：过，又满足蒙日圆方程，在圆上，过，当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，B错误；对于C，在椭圆上，，；当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，，C错误；对于D，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为，则，矩形的面积（当且仅当时取等号），即矩形面积的最大值为，D正确.故选：AD.13．：甲､乙､丙三个人每个人连续有放回地摸三次球，则总共有：种情况，三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件有：有3种、有6种、有6种、有3种、有3种、有3种、有6种、有1种，则共有：3+6+6+3+3+3+6+1=31种情况，∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为，由题意，∴的数学期望：.故答案为：.14．②③对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于②，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于④，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误.故答案为：②③.15．设花卉带宽度为米，则中间草坪的长为米，宽为米，根据题意可得，整理得：，即，解得或，不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为，故答案为：.16．：如图，，要使最小，则最大，即需最小.设，则，∴当，即时，，，此时或，.故答案为：.17（1）因为所以，由正弦定理可得，即，又，所以.（2）若选①，由基本不等式可知：，所以，所以，当且仅当a=c时取“=”.又所以，即则所以.又，所以是正三角形，所以.若选，由条件可知，，所以，所以，所以，所以.又，所以是正三角形，所以.若选③，由题意可知，，所以，所以，所以又，所以是正三角形，所以.18．解：（1），令，，解得，，，所以的单调递增区间为，.（2）因为，所以，由得，所以，所以，所以，同理，，即为锐角三角形.②中圆心到直线的距离，故.③中由得，又A为锐角，所以.选择①②，，，，得，；选择①③，，，得；选择②③，即，.由余弦定理得，所以，所以最大值为，当且仅当时取等号，所以的面积为，最大值为.19．（1）因为圆经过椭圆的右焦点，所以，，因为经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为，所以点在椭圆上，即