重庆八中离心率求法专题研究【知识梳理】c1.离心率公式：e=(其中c为圆锥曲线的半焦距)a(1)椭圆：e∈(0,1)(2)双曲线：e∈(1,+∞)(3)离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。2.求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而可求解。(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解。3.离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”；则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口。(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(构造函数)。(3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率。注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e∈(0,1)，双曲线：e∈(1,+∞)4.求椭圆或双曲线的离心率的值或取值范围，一般要尽快的列出与a,b,c有关的方程或不等式，然后消去b，转化为关于a,c的齐次方程或不等式，就能进一步解决问题.(求双曲线的渐近线的斜率的值或取值范围可借鉴此方式)①求值的问题主要是利用题中的等量关系，列出与a,b,c有关的方程.②求范围的问题相对复杂一些，主要是找出与a,b,c有关的不等关系，列出不等式或建立函数关系.【适当注意椭圆的焦半径|PF|∈[a-c,a+c]，双曲线的焦半径|PF|≥c-a或|PF|≥c+a以及双曲线的浙近线的斜率能否起作用；还有点在曲线上，坐标有限制：方程组或方程有解(判别式法；三角形中的边角不等关系.】5.解析几何的题中有时给出一些较复杂的向量关系式，首先应该考虑直接运用向量的相关知识(几何意义)化简，直接坐标化化简一般较繁琐!【方法归类】一.由特征量建立a,b,c的关系(特殊三角形、等量关系转换a,b,c的齐次式等)22xy2221.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x+y=a的两条切线，切点分别为A,B.若a2b2∠AOB=120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为()35A.B.2C.D.322x2y22.设F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点，若F,F,P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双12a2b212曲线的离心率为()35A.B.2C.D.382x2y23.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正半轴的a2b21交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()2123A.B.C.D.4222x2y24.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆Ea2b24于A,B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是5()3333A.0B.0C.1D.1242422xy2225.设F是椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x+y=b相a2b22π切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是3()272523A.B.C.D.75226.设椭圆C的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与椭圆C交于P,Q.若PF2=F1F2，且3PF1=4QF1，则椭圆的离心率为.二.回代点的坐标(点在圆锥曲线上)建立a,b,c的关系7.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则椭圆C的离心率为x2y28.已知过椭圆+=1(a>0,b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若a2b2ΔAOP是等腰三角形，且PQ=2QA，则椭圆的离心率为.x2y29.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),M,N两点在双曲线C上，且a2b212MN∥F1F2,F1F2=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且F1Q=QN，则双曲线C的离心率为.三.由线段长(范围)、点的坐标范围建立a,b,c的关系(三角形中边角关系、焦点三角形、焦半径范围、椭圆或双曲线中的点的横纵坐标范围等)x2y23a10.设F、F是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，ΔFPF是底角为30°12a2b2212的等偠三角形，则E的离心率为()1234A.B.C.D.2345x2y2a211.(线段长不等式)设F，F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=上存在P，12a2b2c使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()2323A.0,B.0,C.,1D.,12323x2y212.(焦半径范围)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0)，若椭圆上存在一点P，a2b212ac使=，则离心率的取值范围为.sin∠PF1F2sin∠PF2F1x2y213.(焦半径范围)双曲线-=1(a>b>0)的两个焦点为F,F，若P为其上一点，且PF=2PF，则a2b21212双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)x2y214.(焦半径范围)点P是双曲线-=1(a>0,b>0)左支上的一点，其右焦点为F(c,0)，若M为线段a2b2cFP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是()8445A.(1,8]B.1,C.,D.(2,3]333xy15.(横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)，点M,N分别是椭圆C半长轴OA,OA的中点，若椭a2b212圆C上存在点P满足4PM⋅PN=a2，则此椭圆离心率的取值范围是.xy16.(点横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A(a,0)，其上存在一点P，使得∠APO=a2b290°，求椭圆的离心率的取值范围.四.由几何关系转换建立a,b,c的关系x2y217.已知F、F是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点，以线段FF为边作正三角形MFF，若边MF12a2b212121的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()3+1A.4+23B.3-1C.D.3+12222xy22a18.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)，作圆：x+y=的切线，切点为E，延a2b241长FE交双曲线右支于点P，若OE=(OF+OP)，则双曲线的离心率为.2π19.已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠FPF=，记椭圆离心率e，双曲12123111线的离心率e2,+=.e1e2maxx2y220.椭圆C:+=1(a>b>0)，P为C的上的任意一点，ΔPFF的重心G，内心为I，且IG∥FF，则椭a2b212112圆的离心率为.x2y2a221.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)，以O为圆心，a为半径的圆，过点,0作圆的两a2b2c条切线相互垂直，则离心率e=.x2y222.椭圆+=1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A,B.若ΔFAB的周a25长的最大值是12，则该椭圆的离心率是.x2y223.椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F(-c,0),F(c,0)，椭圆上存在点M使FM⋅FM=0，则该椭圆a2b21212离心率e的取值范围为.1y224.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F,F，若该椭圆上存在一点P，使得∠FPF=60°，则椭a2b21212圆离心率的取值范围是.25.如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD.若双曲线C以A,B为隺点且过C,D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为()A.2B.3C.1+2D.1+3π26.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ,θ∈0,，以A,B为焦点且过点D2的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则()A.随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值；B.随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值；C.随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大；D.随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小22xy22作业1.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)+y=4所截得的弦长为2，则C的a2b2离心率为()23A.2B.3C.2D.3x2y2a2作业2.椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F,F，两条直线x=±与x轴的交点分别为M,N，若|MN|a2b212c≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是()1212A.0,B.0,C.,1D.,12222y2作业3.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，如l与双曲线M的两条渐近线分别相交于b2B,C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是10x2y2b作业4.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点，直线y=与椭圆交a2b226于B,C两点，且∠BFC=90°，则该椭囶的离心率䢎.2x2y2作业5.已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于xa2b2轴的直线与双曲线交于A,B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+∞)个B.(1,2)C.(1,1+2)D.(2,1+2)x2y2作业6.如图，已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F,F,FF=2,P是双曲线右支上的a2b212122一点，PF⊥PF,PF与y轴交于点A,△APF的内切圆半径为，则双曲线的离心率是()122125A.B.2C.3D.222x2y2作业7.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点为F,F，过F作x轴的垂线与C相交于A,B两点，a2b2122F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于x2y2作业8.F,F分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F的直线l与双曲线的左、右两支分别交A,B两点，12a2b21若ΔABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为x2y2作业9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)长轴的两个端点是A,B，若C上存在一点P，使∠APB=120°，a2b2求椭圆C的离心率的取值范围x2y2作业10.M,N,F分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+a2b290°，则椭圆C的离心率等于