备战2024年高考阶段性检测名校重组卷(新高考)解析几何本试卷22小题,满分150分。考试用时120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(2023·广东·高三统考模拟预测)设,则“”是“直线与直线平行”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行,则,解得或,经检验或时两直线平行.故“”能得到“直线与直线平行”,但是“直线与直线平行”不能得到“”故选:A2.(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0,-2),P为椭圆上任意一点,若|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则此椭圆的标准方程为( )A.eq\f(x2,64)+eq\f(y2,60)=1 B.eq\f(y2,64)+eq\f(x2,60)=1C.eq\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1 D.eq\f(y2,16)+eq\f(x2,12)=1【答案】 D【解析】 由题意|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8=2a,故a=4,又c=2,则b=2eq\r(3),焦点在y轴上,故椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)+eq\f(x2,12)=1.3.(2023·广东江门·统考模拟预测)若直线与圆相交于P,Q两点,且(其中O为坐标原点),则b的值为( )A.1 B. C. D.【答案】C【解析】,圆的半径为1,,圆心到直线的距离,,解得.故选:C4.(2023·昆明模拟)已知椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1的两个焦点为F1,F2,过F2的直线交椭圆于M,N两点,则△F1MN的周长为( )A.2B.4C.6D.8【答案】 D【解析】 由eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1得a=2.因为M,N是椭圆上的点,F1,F2是椭圆的焦点,所以|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,因此△F1MN的周长为|MF1|+|MN|+|NF1|=|MF1|+|MF2|+|NF2|+|NF1|=2a+2a=4a=8.5.(2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模)已知抛物线的焦点为,准线为,为上一点,,垂足为,与轴交点为,若,且的面积为,则的方程为( )A. B. C. D.【答案】A【详解】由抛物线定义知,所以为等边三角形,为的中点,所以,,的面积,所以的方程为.故选:A.6.(2023·江苏·统考三模)已知F为椭圆C:的右焦点,P为C上一点,Q为圆M:上一点,则PQ+PF的最大值为( )A.3 B.6C. D.【答案】D【详解】圆M:的圆心为,设椭圆的左焦点为,如下图,由椭圆的定义知,,所以,所以,当且仅当三点在一条直线上时取等,,,,.故选:D.7.(2023·浙江·统考二模)已知是圆上一点,是圆的直径,弦的中点为.若点在第一象限,直线、的斜率之和为0,则直线的斜率是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】由题可得圆的方程,设直线的斜率为,则直线的方程为,代入圆的方程可得的坐标,从而可得的坐标,于是根据斜率关系可解得的值,由于点在第一象限,对的值进行取舍,即可得所求.【详解】已知是圆上一点,所以设直线的斜率为,则直线的方程为,所以,则,恒成立,所以由于,所以,则,由于是圆的直径,所以,则弦的中点为坐标为因为直线、的斜率之和为0,所以,整理得解得或,又点在第一象限,所以,故,即直线的斜率是.故选:C.8.(2022·济南模拟)已知抛物线C:y2=4x,圆F:(x-1)2+y2=1,直线l:y=k(x-1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是( )A.|M1M2|·|M3M4| B.|FM1|·|FM4|C.|M1M3|·|M2M4| D.|FM1|·|M1M2|【答案】 A【解析】 如图,分别设M1,M2,M3,M4四点的横坐标为x1,x2,x3,x4,由y2=4x得焦点F(1,0),准线l0:x=-1,由定义得,|M1F|=x1+1,又|M1F|=|M1M2|+1,所以|M1M2|=x1,同理|M3M4|=x4,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=kx-1,,y2=4x,))消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0(k≠0),设M1(x1,y1),M4(x4,y4),则x1x4=1,即|M1M2|·|M3M4|=1.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(2023·广东肇庆·统考一模)已知圆,直线,则( )A.直线过定点B.直线与圆可能相离C.圆被轴截得的弦长为D.圆被直线截得的弦长最短时,直线的方程为【答案】AC【解析】直线,由,得,即l恒过定点,故A正确;点与圆心的距离,故直线l与圆C恒相交,故B错误;令,则,可得,故圆C被y轴截得的弦长为,故C正确;要使直线l被圆C截得弦长最短,只需与圆心连线垂直于直线,所以直线l的斜率,可得,故直线l为,故D错误.故选:AC.10.(2023·安徽马鞍山·统考三模)已知抛物线:的焦点为,点为坐标原点,点在抛物线上,直线与抛物线交于点,则( )A.的准线方程为 B.C.直线的斜率为 D.【答案】CD【详解】由题意可知,,得,则抛物线方程为,所以抛物线的准线方程为,故A错误;抛物线的焦点,,则直线的方程为,与抛物线方程联立,得,设,,,则,故B错误,C正确;,得或,当时,,当时,,即,,,故D正确.故选:CD11..(2023·湖北四地联考)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(eq\r(2),1)在椭圆C外,点Q在椭圆C上,则( )A.椭圆C的离心率的取值范围是B.当椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2)时,|QF1|的取值范围是[2-eq\r(3),2+eq\r(3)]C.存在点Q使得eq\o(QF1,\s\up6(—→))·eq\o(QF2,\s\up6(—→))=0D.eq\f(1,|QF1|)+eq\f(1,|QF2|)的最小值为1【答案】 BCD【解析】 由题意得a=2,又点P(eq\r(2),1)在椭圆C外,则eq\f(2,4)+eq\f(1,b2)>1,解得b<eq\r(2),所以椭圆C的离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(4-b2),2)>eq\f(\r(2),2),即椭圆C的离心率的取值范围是,故A不正确;当e=eq\f(\r(3),2)时,c=eq\r(3),b=eq\r(a2-c2)=1,所以|QF1|的取值范围是[a-c,a+c],即[2-eq\r(3),2+eq\r(3)],故B正确;设椭圆的上顶点为A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),由于eq\o(AF1,\s\up6(—→))·eq\o(AF2,\s\up6(—→))=b2-c2=2b2-a2<0,所以存在点Q使得eq\o(QF1,\s\up6(—→))·eq\o(QF2,\s\up6(—→))=0,故C正确;(|QF1|+|QF2|)=2+eq\f(|QF2|,|QF1|)+eq\f(|QF1|,|QF2|)≥2+2=4,当且仅当|QF1|=|QF2|=2时,等号成立,又|QF1|+|QF2|=4,所以eq\f(1,|QF1|)+eq\f(1,|QF2|)≥1,故D正确.12.(2023·湖南邵阳·统考三模)已知双曲线C的左、右焦点分别为,,双曲线具有如下光学性质:从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点,如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为,则下列结论正确的有( )A.双曲线C的方程为B.若,则C.若射线n所在直线的斜率为k,则D.当n过点M(8,5)时,光由所经过的路程为10【答案】AC【详解】对于A,由题意可知,因为双曲线C的一条渐近线的方程为,所以,即,所以双曲线的方程为故A正确;对于B,由,得,解得,在中,,由勾股定理及双曲线的定义知,,即,解得,故B错误;对于C,由题意可知,双曲线的渐近线方程为,由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为,故C正确;对于D,由题意可知,,当过点时,由双曲线定义可得光由所经过的路程为,故D错误.故选:AC.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.(2023·浙江台州·统考二模)已知椭圆经过点和,则椭圆的离心率为___________.【答案】/0.5【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.【详解】将两个点代入椭圆方程得:,解得,故.故答案为:14.(2023·浙江·统考二模)已知圆,若被两坐标轴截得的弦长相等,则__________.【答案】/【分析】被两坐标轴截得的弦长相等,则圆心到两坐标轴的距离相等,即圆心的横纵坐标的绝对值相等可得答案.【详解】圆的弦长为(为圆的半径,为圆心到弦的距离),若被两坐标轴截得的弦长相等,则圆心到两坐标轴的距离相等,即圆心的横纵坐标的绝对值相等,即,解得.故答案为:.15.(2023·长沙模拟)已知抛物线C:y2=16x,倾斜角为eq\f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为________.【答案】 64【解析】 方法一 (常规解法)依题意,抛物线C:y2=16x的焦点为F(4,0),直线l的方程为x=eq\r(3)y+4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\r(3)y+4,,y2=16x,))消去x,整理得y2-16eq\r(3)y-64=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16eq\r(3),y1y2=-64.S△OAB=eq\f(1,2)|y1-y2|·|OF|=2eq\r(y1+y22-4y1y2)=2eq\r(16\r(3)2-4×-64)=64.方法二 (活用结论)依题意,抛物线y2=16x,p=8.又l的倾斜角α=eq\f(π,6).所以S△OAB=eq\f(p2,2sinα)=eq\f(82,2sin \f(π,6))=64.16.(2023·辽宁大连·统考三模)已知为坐标原点,是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点满足,且,则双曲线的渐近线方程为__________.点A是双曲线上一定点,过点的动直线与双曲线交于两点,为定值,则当时实数的值为__________.【答案】【详解】(1)根据,取的中点,易知,可知,,即△为直角三角形.设,依题意有,解得,根据勾股定理得,解得,故双曲线为等轴双曲线,渐近线为.(2)当时,双曲线,设直线,联立方程组,化简得,,,因为为定值,所以法一:,,,解得,法二:,解得.故答案为:,四、解答题:本大题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(2023·衡水模拟)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为eq\f(\r(2),2),短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程.【解析】 (1)因为离心率e=eq\f(c,a)=e
第八章 解析几何(直线与圆、圆锥曲线)-备战2024年高考数学专题测试模拟卷(新高考专用)(解析卷)
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