第三节圆的方程知识框架知识点归纳1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：半径r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论]1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.题型归类题型一圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为________________________.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________.感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.题型二与圆有关的最值问题角度1 利用几何意义求最值例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.角度2 利用对称性求最值例3已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.角度3 建立函数关系求最值例4(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________.感悟提升 与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.题型三与圆有关的轨迹问题例5如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2eq\r(6)，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.课时训练一、单选题1．圆C：关于直线对称的圆的方程是（    ）A． B．C． D．2．方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．3．圆关于原点对称的圆的方程为（    ）A． B．C． D．4．已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（    ）A． B．C． D．5．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切，则圆的方程为A． B．C． D．6．已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（    ）A．5 B． C． D．二、多选题7．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）A．圆的圆心为B．圆的半径为5C．点不在圆上D．圆关于对称8．已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ）A．三角形OMN外接圆的方程为B．三角形OMN外接圆的半径长为5C．三角形OMN外接圆的圆心坐标D．大于三角形OMN外接圆的半径三、填空题9．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.10．方程表示一个圆，且过点有两条直线与该圆相切，则实数的取值范围是__________.11．已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.12．已知圆：，在圆内随机取一点，直线交圆于，两点（为坐标原点），则的概率为_____．四、解答题13．求过点，且圆心在直线上的圆的方程.14．已知圆经过点，，且圆与轴相切．(1)求圆的一般方程；(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．15．若圆的内接矩形的周长最大值为．(1)求圆O的方程；(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．16．在以O为原点的直角坐标系中，点为△OAB的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零.(1)求的坐标；(2)设点，求以OC为直径的圆M关于直线OB对称的圆的方程.