专题08数列易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：．（2）前项和公式：．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，，，.最值问题：解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.例．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.变式1．数列是等差数列，，．(1)从第几项开始有？(2)求此数列的前项和的最大值．变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．变式3．等差数列，，公差．(1)求通项公式和前项和公式；(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差数列的前n项和为，，且，则取得最小值时n的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．83．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（    ）A．15 B．750 C． D．4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（    ）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（     ）.A． B．C． D．与均为的最大值6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．设的前项和为，则时，的最大值为277．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ）A．是为等差数列的充要条件B．可能为等比数列C．若，，则为递增数列D．若，则中，，最大8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）A．是等差数列 B．C． D．有最大值9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为．11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝．易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。数学语言表达式：(，为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）若，则有口诀：角标和相等，项的积也相等推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。例．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（    ）A．5 B．10 C．15 D．20变式1．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则(    )A． B． C． D．变式2．已知，如果，，，，成等比数列，那么（    ）A．， B．，C．， D．，变式3．已知等比数列中，，，则（    ）A． B． C．或 D．1．已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（    ）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（    ）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（    ）A．1 B． C．5 D．4．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（    ）A． B． C． D．5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）A．4 B．8 C．32 D．646．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（    ）A． B． C．或 D．或77．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（    ）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在数列中，，，则（    ）．A． B．C． D．9．已知是等差数列，公差，前项和为，若，，成等比数列，则 A．， B．， C．， D．，10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（    ）A．， B．， C．， D．，11．已知数列是等差数列，，其中公差，若是和的等比中项，则（    ）A．398 B．388C．189 D．199易错点三：忽略等比数列求和时对的讨论（等比数列求和）等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..例．设等比数列的前n项和为.已知，，则.变式1．记为等比数列的前n项和，若，，则．变式2．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和．变式3．数列前项和满足，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和．1．已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（    ）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ）A． B． C． D．3．已知，，（，），为其前项和，则（    ）A． B． C． D．4．在等比数列中，，，则（    ）A．的公比为4 B．的前20项和为170C．的前10项积为 D．的前n项和为5．已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为.6．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项．7．设为等比数列的前项和，若，，则8．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则．9．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则．10．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为．11．在正项等比数列中，已知，，则公比．易错点四：由求时忽略对“”的检验（求通项公式）类型1观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型2公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型3累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．类型4累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型5构造数列法：（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．类型6对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型7倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．类型8形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式易错提醒：在数列问题中，数列的通项与其前n项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验.例．已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.变式1．数列的前n项和，已知，，k为常数.(1)求常数k和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，证明：变式2．设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.变式3．已知数列的前项和为，且（）.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数