专题08数列易错点一:混淆数列与函数的区别(数列求最值问题)1、等差数列的定义(1)文字语言:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数;(2)符号语言:(,为常数).2、等差中项:若三个数a,A,b组成等差数列,则A叫做a,b的等差中项.3、通项公式与前n项和公式(1)通项公式:.(2)前项和公式:.(3)等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式:当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且一次项系数为公差.若公差,则为递增数列,若公差,则为递减数列.=2\*GB3②前n项和:当公差时,是关于的二次函数且常数项为0.已知数列是等差数列,是其前项和.1、等差数列通项公式的性质:(1)通项公式的推广:.(2)若,则.(3)若的公差为d,则也是等差数列,公差为.(4)若是等差数列,则也是等差数列.2、等差数列前项和的性质(1);(2);(3)两个等差数列,的前n项和,之间的关系为.(4)数列,,,…构成等差数列.3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质(1)若项数为,则,;(2)若项数为,则,,,.最值问题:解决此类问题有两种思路:一是利用等差数列的前项和公式,可用配方法求最值,也可用顶点坐标法求最值;二是依据等差数列的通项公式,当时,数列一定为递增数列,当时,数列一定为递减数列.所以当,且时,无穷等差数列的前项和有最大值,其最大值是所有非负项的和;当,且时,无穷等差数列的前项和有最小值,其最小值是所有非正项的和,求解非负项是哪一项时,只要令即可易错提醒:数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时有时可以利用函数的性质,但是在利用函数单调性求解数列问题,要注意的取值不是连续实数,忽略这一点很容易出错.例.已知等差数列的前n项和为,且,,求取得最大值时对应的n值.变式1.数列是等差数列,,.(1)从第几项开始有?(2)求此数列的前项和的最大值.变式2.记为等差数列的前n项和,已知,.(1)求的通项公式;(2)求的最小值.变式3.等差数列,,公差.(1)求通项公式和前项和公式;(2)当取何值时,前项和最大,最大值是多少.1.已知数列是等差数列,若,,且数列的前项和,有最大值,当时,的最大值为( )A.20 B.17 C.19 D.212.已知等差数列的前n项和为,,且,则取得最小值时n的值为( )A.5 B.6 C.7 D.83.已知数列中,若其前n项和为Sn,则Sn的最大值为( )A.15 B.750 C. D.4.若是等差数列,首项,,,则使前项和成立的最大自然数是( )A.2021 B.2022 C.4042 D.40435.设是等差数列,是其前n项和,且,,则下列结论正确的是( ).A. B.C. D.与均为的最大值6.设等差数列的前项和为,公差为.已知,,,则下列结论正确的是( )A. B.C. D.设的前项和为,则时,的最大值为277.已知数列的前项和满足,则下列说法正确的是( )A.是为等差数列的充要条件B.可能为等比数列C.若,,则为递增数列D.若,则中,,最大8.已知数列的前n项和,则下列结论正确的是( )A.是等差数列 B.C. D.有最大值9.数列的前项和为,已知,则下列说法正确的是( )A.是递增数列 B.C.当时, D.当或4时,取得最大值10.等比数列中,,则数列的前项和的最大值为.11.记等差数列的前n项和为,若,,则当取得最大值时,n=.易错点二:忽视两个“中项”的区别(等比数列利用中项求其它)1、等比数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示。数学语言表达式:(,为非零常数).2、等比中项性质:如果三个数,,成等比数列,那么叫做与的等比中项,其中.注意:同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式(1)通项公式:若等比数列的首项为,公比是,则其通项公式为;通项公式的推广:.(2)等比数列的前项和公式:当时,;当时,.已知是等比数列,是数列的前项和.(等比中项)1、等比数列的基本性质(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即,,,…仍是等比数列,公比为.(2)若,(项数相同)是等比数列,则,,,,仍是等比数列.(3)若,则有口诀:角标和相等,项的积也相等推广:(4)若是等比数列,且,则(且)是以为首项,为公差的等差数列。(5)若是等比数列,,则构成公比为的等比数列。易错提醒:若成等比数列,则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项,“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件,在解题时务必要注意此点。例.已知各项均为正数的等比数列中,,则等于( )A.5 B.10 C.15 D.20变式1.已知等差数列的公差,且,,成等比数列,则( )A. B. C. D.变式2.已知,如果,,,,成等比数列,那么( )A., B.,C., D.,变式3.已知等比数列中,,,则( )A. B. C.或 D.1.已知等差数列的前项和为,公差不为0,若满足、、成等比数列,则的值为( )A.2 B.3 C. D.不存在2.已知公差不为零的等差数列中,,且,,成等比数列,则数列的前9项的和为( )A.1 B.2 C.81 D.803.已知,,则使得成等比数列的充要条件的值为( )A.1 B. C.5 D.4.已知等差数列的公差不为0,且成等比数列,则错误的是( )A. B. C. D.5.正项等比数列中,是与的等差中项,若,则( )A.4 B.8 C.32 D.646.已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为( )A. B. C.或 D.或77.数列为等比数列,,,命题,命题是、的等比中项,则是的( )条件A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要8.在数列中,,,则( ).A. B.C. D.9.已知是等差数列,公差,前项和为,若,,成等比数列,则 A., B., C., D.,10.数1与4的等差中项,等比中项分别是( )A., B., C., D.,11.已知数列是等差数列,,其中公差,若是和的等比中项,则( )A.398 B.388C.189 D.199易错点三:忽略等比数列求和时对的讨论(等比数列求和)等比数列前项和的性质(1)在公比或且为奇数时,,,,……仍成等比数列,其公比为;(2)对,有;(3)若等比数列共有项,则,其中,分别是数列的偶数项和与奇数项和;(4)等比数列的前项和,令,则(为常数,且)易错提醒:注意等比数列的求和公式是分段表示的:,所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知,则要注意分两种情况q=1和q≠1讨论..例.设等比数列的前n项和为.已知,,则.变式1.记为等比数列的前n项和,若,,则.变式2.在等比数列中,,,令,求数列的前n项和.变式3.数列前项和满足,数列满足.(1)求数列和的通项公式;(2)对任意,将数列中落入区间内项的个数记为,求数列前项和.1.已知为等比数列,其公比,前7项的和为1016,则的值为( )A.8 B.10 C.12 D.162.已知正项等比数列的前项和为,若,则( )A. B. C. D.3.已知,,(,),为其前项和,则( )A. B. C. D.4.在等比数列中,,,则( )A.的公比为4 B.的前20项和为170C.的前10项积为 D.的前n项和为5.已知正项等比数列的前n和为,若,且,则满足的n的最大值为.6.已知等比数列的前n项和为,,且-3,,成等差数列,则数列的通项.7.设为等比数列的前项和,若,,则8.已知正项等比数列的前项和为,若,且,则.9.已知各项均为正数的等比数列的前项和为,,,则.10.数列的前n项和为,且,,则满足的最小的自然数n的值为.11.在正项等比数列中,已知,,则公比.易错点四:由求时忽略对“”的检验(求通项公式)类型1观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项.类型2公式法:若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一).类型3累加法:形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相加,可得:=1\*GB3①若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;=3\*GB3③若是关于的二次函数,累加后可分组求和;=4\*GB3④若是关于的分式函数,累加后可裂项求和.类型4累乘法:形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:将上述个式子两边分别相乘,可得:有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解.类型5构造数列法:(一)形如(其中均为常数且)型的递推式:(1)若时,数列{}为等差数列;(2)若时,数列{}为等比数列;(3)若且时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:法一:设,展开移项整理得,与题设比较系数(待定系数法)得,即构成以为首项,以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二:由得两式相减并整理得即构成以为首项,以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出(二)形如型的递推式:(1)当为一次函数类型(即等差数列)时:法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二:当的公差为时,由递推式得:,两式相减得:,令得:转化为类型Ⅴ㈠求出,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出(2)当为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二:当的公比为时,由递推式得:——①,,两边同时乘以得——②,由①②两式相减得,即,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三:递推公式为(其中p,q均为常数)或(其中p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以,得:,引入辅助数列(其中),得:再应用类型Ⅴ㈠的方法解决.(3)当为任意数列时,可用通法:在两边同时除以可得到,令,则,在转化为类型Ⅲ(累加法),求出之后得.类型6对数变换法:形如型的递推式:在原递推式两边取对数得,令得:,化归为型,求出之后得(注意:底数不一定要取10,可根据题意选择).类型7倒数变换法:形如(为常数且)的递推式:两边同除于,转化为形式,化归为型求出的表达式,再求;还有形如的递推式,也可采用取倒数方法转化成形式,化归为型求出的表达式,再求.类型8形如型的递推式:用待定系数法,化为特殊数列的形式求解.方法为:设,比较系数得,可解得,于是是公比为的等比数列,这样就化归为型.总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式易错提醒:在数列问题中,数列的通项与其前n项和之间关系如下,在使用这个关系式时,要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列{}的与关系时,先令求出首项,然后令求出通项,最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项,也不对进行检验.例.已知数列和,其中的前项和为,且,.(1)分别求出数列和的通项公式;(2)记,求证:.变式1.数列的前n项和,已知,,k为常数.(1)求常数k和数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,证明:变式2.设各项均为正数的数列的前项和为,满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,数列的前项和为.证明:对一切正整数,.变式3.已知数列的前项和为,且().(1)求数列的通项公式;(2)设,求数
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