专题08 函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1． 图1 图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点xi是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一 根据函数图象判断极值【方法总结】由图象判断函数y＝f(x)的极值(1)y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0，可得函数y＝f(x)的可能极值点x0；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点答案 C 解析 设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4．当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C．(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案 D 解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0．由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．(3)函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，x1，x2是函数y＝f(x)的两个极值点，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于( )A．eq\f(8,9) B．eq\f(10,9) C．eq\f(16,9) D．eq\f(28,9)答案 C 解析 因为函数f(x)的图象过原点，所以d＝0．又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2．由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝eq\f(2,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(4,9)＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,9)，故选C(4)已知函数y＝eq\f(f′(x),x)的图象如图所示(其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是( )A．f′(1)＝f′(－1)＝0 B．当x＝－1时，函数f(x)取得极大值C．方程xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根 D．当x＝1时，函数f(x)取得极小值答案 C 解析 由图象可知f′(1)＝f′(－1)＝0，A说法正确．当x<－1时，eq\f(f′(x),x)<0，此时f′(x)>0；当－10，此时f′(x)<0，故当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，B说法正确．当01时，eq\f(f′(x),x)>0，此时f′(x)>0，故当x＝1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确．故选C．(5)(多选)函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有( )A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间 B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值答案 ABD 解析 由函数y＝f(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f(x)在x＝－1，5取得极小值，在x＝3取得极大值，C错误．故选A、B、D．(6)(2018·全国Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )答案 D 解析 当x＝0时，y＝2，排除A，B．由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±eq\f(\r(2),2)，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C，故选D．【对点训练】1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．41．答案 A 解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正．2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．f(x)有两个极值点 B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值 D．f(－1)为f(x)的极小值2．答案 BC 解析 由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，∴f′(x)<0，当x∈(－2，0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，当x∈(0，1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0．∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上单调递减，在(－2，0)，(1，＋∞)上单调递增．故AD错误，BC正确．3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于( )A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3) C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)3．答案 C 解析 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝eq\f(2,3)，∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)．4．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则eq\f(f′(0),f′(1))＝________．4．答案 1 解析 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由图象知，方程f′(x)＝0的两根为－1和2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2b,3a)＝－1＋2，,\f(c,3a)＝－1×2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝0，,6a＋c＝0，))∴eq\f(f′(0),f′(1))＝eq\f(c,3a＋2b＋c)＝eq\f(c,c)＝1．5．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零5．答案 BD 解析 根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点，∵函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．故错误的命题为BD．考点二 求已知函数的极值【方法总结】求函数的极值或极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)＝x2e－x的极大值为__________，极小值为________．答案 4e－2 0 解析 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e－xx(x－2)．当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(0，2)时，f′(x)＞0．所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2．(2)设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则( )A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点 B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极