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解三角形与三角函数题型综合训练 学生版
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解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.正弦定理abc===2R.(其中R为ΔABC外接圆的半径)sinAsinBsinC⇔a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(边化角)abc⇔sinA=,sinB=,sinC=;(角化边)2R2R2R2.余弦定理:222cosA=b+c-a,2bca2=b2+c2-2bccosA,222a+c-b222cosB=2ac,⇒b=a+c-2accosB,222222a+b-cc=a+b-2abcosC.cosC=2ab.3.三角形面积公式:1111SΔABC=absinC=bcsinA=acsinB=a+b+crr为三角形ABC的内切圆半径22224.三角形内角和定理:CπA+B在△ABC中,有A+B+C=π⇔C=π-(A+B)⇔=-⇔2C=2π-2(A+B).2225.二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α=2sinαcosα②cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α1+cos2α=2cos2α升幂公式:1-cos2α=2sin2αcos2α=1(1+cos2α)降幂公式:221sinα=2(1-cos2α)2tanα③tan2α=.1−tan2α6.22basinx±bcosx=a+bsin(x±φ),(其中tanφ=);辅助角公式a求f(x)=Asin(ωx+φ)+B解析式A,B求法A+B=f(x)方法一:代数法max方法二:读图法B表示平衡位置;A表-A+B=f(x)min示振幅12πω求法方法一:图中读出周期T,利用T=求解;ω方法二:若无法读出周期,使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.φ求法方法一:将最高(低)点代入f(x)=Asin(ωx+φ)+B求解;方法二:若无最高(低)点,可使用其他特殊点代入f(x)=Asin(ωx+φ)+B求解;但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC中,D为CB的中点,2AD=AC+AB,然后再两边平方,转化成数量关系求解!(常用)8.角平分线如图,在ΔABC中,AD平分∠BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c①等面积法11A1AS=S+S⇒AB×AC×sinA=AB×AD×sin+AC×AD×sin(常用)ΔABCΔABDΔADC22222②内角平分线定理:ABACABBD=或=BDDCACDCABS△ABD③边与面积的比值:=ACS△ADC9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)a+b①ab≤2②a2+b2≥2ab10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,代入面积公式,化角,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积或者周长的最值。【常用结论】①在ΔABC中,a>b⇔sinA>sinB⇔A>B;2π②sin2A=sin2B,则A=B或A+B=.2③在三角函数中,sinA>sinB⇔A>B不成立。但在三角形中,sinA>sinB⇔A>B成立二、三角函数与解三角形题型综合训练π1.(2023春·福建莆田·莆田一中校考阶段练习)已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<的2部分图象如图所示:(1)求方程fx=2的解集;ππ(2)求函数gx=fx--fx+的单调递增区间.121232.(2023春·宁夏吴忠·青铜峡市高级中学校考阶段练习)函数fx=Asinωx+φ(A,ω,φ为常数,且πA>0,ω>0,ϕ<)的部分图象如图所示.2(1)求函数fx的解析式及图中b的值;ππ(2)将fx的图象向左平移个单位后得到函数y=gx的图象,求gx在0,上的单调减区间.623.(2023春·湖北十堰·校联考阶段练习)已知函数fx=sinx-3cosx.π22π(1)若x∈0,,且函数fx=,求cos+x的值;2331π(2)若将函数fx图像上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,再将所得图像向左平移个单24π位长度,得到gx的图像,求函数gx在0,上的最小值.2424.(2023春·浙江宁波·余姚中学校考阶段练习)已知函数fx=sinxcosx-3cosx,将函数fx的图π象向左平移个单位长度,可得到函数gx的图象.4(1)求函数gx的表达式及单调递增区间;ππa2+13(2)当x∈,时,afx+gx≥-a+1恒成立,求正数a的取值范围.63225.(2023春·安徽滁州·安徽省滁州中学校考阶段练习)已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C所对的边,且c2=a2+b2-ab(1)求角C(2)若sinB三角形;(2)设△ABC的面积为S,若,S的值.在①7cosB=2cosC;②CA⋅CB=2S;③a2+b2=8c2三个选项中,选择一个填入上面空白处,并求解.63210.(2022·全国·高三专题练习)在①sinAcosB+cosAsinB=;②x=cosC是函数fx=2x+x-121π的一个零点;③已知函数fx=sinx+,且fC=1.从三个条件中任选一个,补充在下面的问23题中,并加以解答:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且∠C为锐角.若,且c=2acosB,试判断△ABC的形状.11.(2022·全国·高三专题练习)随着我国房地产行业迅速发展和人们生活水平的不断提高,大家对住宅区的园林绿化设计提出了更高、更新的要求,设计制“人性化,生态化、自然化”的园林式居住区,以提高现代人的生活质量,成为当今住宅区园林绿化的设计准则.某小区有一片绿化用地,如图所示,区域四周配植修剪整齐的本土植物,中间区域合理配植有层次感的高、中、低植物,BD为鹅卵石健康步道,πAD⎳BC,A=,AD=20m,AB=BC=16m.3(1)求鹅卵石健康步道BD的长(单位:m);(2)求绿化用地总面积(单位:m2).712.(2022·高三课时练习)如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=120°,AB=2,AD=22,△ABC的面积为3.(1)求AC;(2)求∠ACD.13.(2023·全国·高三专题练习)如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,c=3,B=30°(1)求b的值;(2)求sinC的值;1(3)若D为边BC上一点,且cos∠ADC=-,求BD的长.3814.(2022·高三课时练习)如图,某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道,BE为电瓶车专用道,∠BCD=∠BAE=∠CDE=120°,DE=11km,BC=CD=5km.(1)求BE的长;53(2)若sin∠ABE=,求五边形ABCDE的周长.1415.(2023·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c-bsinC=acosC-bsinB+acosBsinC.(1)求角A;(2)若H为△ABC的垂心,a=2,求△HBC面积的最大值.916.(2022·安徽黄山·统考一模)如图,已知△ABC外接圆的圆心O为坐标原点,且O在△ABC内部,2πA1,0,∠BOC=.37π(1)求∠AOB=,求AO⋅AB;12(2)求△ABC面积的最大值.17.(2023·高三课时练习)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c、满足a2+c2=b2-ac.(1)求角B的大小;(2)若b=23,求△ABC的面积的最大值.1018.(2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习)在四边形ABCD中,A,B,C,D四点共圆,3AB=5,BC=3,cos∠ABC=-.525(1)若sin∠ACD=,求AD的长;5(2)求四边形ABCD周长的最大值.19.(2022春·广东潮州·饶平县第二中学校考阶段练习)在锐角△ABC中,已知asinB=3bcosA.(1)求角A;(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.1120.(2022秋·广东·高三统考阶段练习)在①m=2a-c,b,n=cosC,cosB,m⎳n;②bsinA=πacosB-;③a+ba-b=a-cc三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问6题.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(1)求∠B;(2)若b=2,求△ABC周长的取值范围.521.(2022春·安徽淮南·淮南市第五中学校考阶段练习)已知在△ABC中,B=45°,AC=10,cosC=.5(1)求BC边的长;(2)求AB边上的中线CD的长.1222.(2020秋·安徽·高三校联考阶段练习)在△ABC中,AB=3AC,AD为边BC上的中线,记∠CAD=2∠BAD=2a.(1)求证:△ABC为直角三角形;(2)若AD=1,延长BC到点E,使得AE=13CE,求△ABE的面积.32222π23.(2023·全国·高三专题练习)已知在△ABC中,b=ab+bc-ac,C=.3(1)求A的大小;(2)在下列四个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.33①△ABC周长为2+3;②a=1;③△ABC面积为;④c=2a41324.(2023春·湖南衡阳·衡阳市八中校考阶段练习)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2C.(1)求cosC;37(2)若△ABC的面积为,求AB边上的中线CD的长.2141425.(2022·浙江·高三专题练习)已知函数fx=cosx-sinxcosx-sinx.22(1)求fx的最小正周期及单调减区间;A22(2)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f=-,BC边上的中线AD=2,求b22+c2的最大值.1426.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A、B、C成等差数列,且sinC=3sinA.(1)求cosC;(2)若角B的角平分线交AC于点D,BD=2,求△ABC的面积.27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b=23,sin2A+sin2C+sinAsinC=sin2B,(1)求角B的大小;(2)若AD是ÐBAC的内角平分线,当△ABC面积最大时,求AD的长.1528.(2023春·陕西西安·西北工业大学附属中学校考阶段练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.在①tanA+tanC-3=-3tanAtanC;②2S△ABC=-3BA⋅BC;π③bco

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