浙江省新阵地教育联盟2024届第一次联考数学试题卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方，3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.参考公式：如果事件，互斥那么如果事件，相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为台体的体积公式其中，分别表示台体的上、下底面积，表示为台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，方表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.5 B.3 C. D.3.角的终边过点，则（）A. B. C. D.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.5.让3名男生和3名女生站成一排，且任意相邻两名学生性别不同，则男生甲站在最左端的概率是（）A. B. C. D.6.已知为单位向量，，，则的最大值为（）A. B. C. D.7.已知椭圆方程为，为椭圆内一点，以为中点的弦与椭圆交于点，，与轴交于点，线段的中垂线与轴交于点，当面积最小时，椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆的方程为，下列结论正确的是（）A.该圆的面积为 B.点在该圆内C.该圆与圆相离 D.直线与该圆相切10.己知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的（）A.点的坐标为B.若直线经过焦点，则C.若，则线段的中点到轴的距离为D.若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为11．已知正方体的棱长为2，点，，分别为线段，，的中点，则（）A.B.平面C.直线与平面所成的角的余弦值为D.过点且与直线垂直的平面截该正方体所得截面的周长为12.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若、均为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图像关于对称B.C.若函数在上单调递增，则在区间上有且只有1012个零点D.数列前项和，若在上单调递减，且，则第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在展开式中，常数项为________.（用数字作答）14．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为________.15.已知，则________.16.若实数，满足，则的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和满足.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和.18.已知函数的周期为，图象关于直线对称.（1）求的解析式；（2）在钝角三角形中，角，，所对的边为，，，若，，，为的中点，求的长.19.已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，.（1）求点到平面的距离：（2）求平面与平面的夹角的大小.20.近日，抖音在北京、上海、成都开放商家自主入驻.为了从美团嘴里抢到肉，抖音采取了错位竞争的打法．首先，抖音配送并不求快．在立即配送之外，抖音增加了“预约点餐形式，即可以预约后面几天的配送时间.市餐饮行业协会为掌握本市抖音配送方式的服务质量水平，从用该形式就餐的人员中随机抽取了1000人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图，如图：（1）求的值；（2）现市餐饮行业协会针对本地区成年人使用抖音配送方式是否与性别有关联进行了问卷调查，在1000人中随机抽取了100名成年人样本进行分析.（i）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为使用抖音配送方式与性别有关?使用抖音配送方式不使用抖音配送方式总计女性20男性1050总计（ii）现采用分层抽样从使用抖音配送方式的市民中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性顾客的人数，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称.（1）求双曲线的方程；（2）设，试用表示点的横坐标；（3）求证：直线过定点.22.定义一种新运算“”：，，这种运算有许多优美的性质：如，等.已知函数，.（1）当时，求的值；（2）设有两个零点，若恒成立，求正实数的取值范围.浙江省新阵地教育联盟2024届第一次联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.C3.A4.A5.C6.D7.B8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BD10.BC11.ACD12.ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5414.615.16.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为，所以时，，两式相减得到：，即，又，所以，数列为公比为4的等比数列.（2）由（1）可知：，所以，，所以数列的前项和.18．解：（1）图像关于对称（2）或（舍）或在中由余弦定理得在中由余弦定理得19．解：（1）取中点，连接，，且四边形为平行四边形又由可得面，，根据等体积法，，图（1）（2）法1：建立如图空间直角坐标系分别设面和面的法向量为，分别令和为1可得，故平面与平面的夹角为.图（2）①法2：过点作，可求由（1）可知故平面与平面的夹角为.图（2）②20．解：（1）由，得，（2）（i）列联表补充完整如下：使用抖音配送方式不使用抖音配送方式总计女性302050男性104050总计4060100零假设为：使用抖音配送方式与性别无关.根据列联表中数据，经计算得，依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为使用抖音配送方式与性别有关，该推断犯错误的概率不超过.（ii）由题意得抽到的女性顾客的人数为6，男性顾客的人数为2.则的所有可能取值有0，1，2，；；所以的分布列为：012故.21．解：（1）设，由，则，即，所以渐近线方程为.又到双曲线的渐近线的距离为，则，即，.所以双曲线方程为.（2）设，，直线的方程为，直线的方程与双曲线联立，有.又，则所以，即，（3）由（2）同理，，则，则直线方程为，令，则，即所以直线过定点.22.解：（1）当时，则，所以（2）由，即则当时，，在上是增函数，不成立.当时，，得，当时，在上是增函数.当时，在上是减函数是的极小值点，也是最小值点，且要有两个零点，由得，两边同时除以得，，令，则，，则记，，则若，则，在，从而，在]即时有即恒成立，符合题意.若，则当时，，在，当时，，在，又，，在，，即不符合题意，综上