第1讲和差求最值一．选择题（共9小题）1．（2020秋•宁波期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是 A． B． C． D．【解答】解：如图，由双曲线，得，，．不妨以在双曲线右支为例，当轴时，把代入，得，即，此时，则；由，得，又，①两边平方得：，，②联立①②解得：，，此时．使△为锐角三角形的的取值范围是．故选：．2．（2018•麒麟区校级模拟）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线右支于，两点，则的最小值为 A．16 B．12 C．11 D．【解答】解：根据双曲线，得：，由双曲线的定义可得：①，②，①②可得：，过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，，当是双曲线的通经时最小．．．故选：．3．（2018•盐湖区校级四模）设双曲线的左、右焦点分别为，．若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则的取值范围是 A． B． C． D．【解答】解：△为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，当在处，，，由，，可得，此时，当在处，，，易知，此时，△为锐角三角形，则的取值范围是，，故选：．4．（2016秋•渝中区校级期中）已知为双曲线右支上的动点，为圆上动点，为圆上的动点，则的最小值、最大值分别为 A．4、8 B．3、9 C．2、10 D．1、11【解答】解：双曲线的两个焦点分别是与，则这两点正好是两圆和的圆心，半径分别是，，，，，，，的最小值，的最大值，的最小值、最大值分别3，9，故选：．5．（2020•4月份模拟）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的焦点为，点是双曲线右支上的动点，且的周长的最小值为14，则双曲线的离心率为 A． B． C．3 D．2【解答】解：由题意得抛物线的焦点为，抛物线的焦点，设双曲线的右焦点为，则三角形的周长，故，所以．故选：．6．（2021•黄山一模）已知、分别是双曲线的左、右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且△周长最小值为实轴长的4倍，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：，，是一个正方形的相邻两边，即，，由双曲线的定义知，，，△周长为，当且仅当，，按此顺序三点共线时，等号成立，△周长最小值为实轴长的4倍，，离心率．故选：．7．（2017•民乐县校级模拟）双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，设，由双曲线的定义可得，，，则的周长为，当且仅当，，共线，取得最小值，且为，由题意可得，即，，则，故选：．8．（2020•淮南二模）已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 A．7 B．8 C． D．【解答】解：双曲线中，，，，，，圆半径为，，，（当且仅当，，共线且在，之间时取等号），，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．的最小值是7．故选：．9．（2019秋•金安区校级期末）已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为 A．9 B．8 C． D．【解答】解：设双曲线的左焦点，，圆上一点，，．故选：．二．填空题（共7小题）10．已知，为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点在双曲线上，则的最小值为 ．【解答】解：双曲线，，半焦距，右焦点，左焦点；又，是双曲线上一点，当点在双曲线的右支上时，取得最小值，，当且仅当，，共线时，取得最小值．故答案为：．11．（2015秋•龙凤区校级期末）设双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 10 ．【解答】解：根据双曲线，得，，由双曲线的定义可得：①，②，①②可得：，由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，可得，当是双曲线的通径时最小．即有．即有．故答案为：10．12．（2017秋•西湖区校级期末）设双曲线的左，右焦点分别为，．若点在双曲线上，且△为钝角三角形，则的取值范围是 ，， ．【解答】解：由双曲线，得，，，不妨以在双曲线右支为例，当轴时，把代入，得，即，此时，则；由，得，又，①两边平方得：，，②联立①②解得：，，此时，且，由如图可知，使△为钝角三角形的的取值范围是，，．故答案为：，，．13．（2020•合肥二模）已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线的渐近线方程为 ．【解答】解：由题意可得，，设，由双曲线的定义可得，，，则的周长为，当且仅当，，共线，取得最小值，且为，由题意可得，即，即，可得，所以双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．14．（2020•合肥二模）已知双曲线的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长的最小值等于 ．【解答】解：双曲线，，如图所示，不妨设为轴上方的虚轴端点，则，，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义可知，，即，的周长为，当且仅当、、三点共线时，等号成立．所以周长的最小值等于．故答案为：．15．（2020•江西模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，若点是双曲线虚轴的一个顶点，且的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线的渐近线方程为 ．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为，，点满足，点的坐标为，在双曲线的左支，，，的周长为，由双曲线的定义可得，，当在左支上运动到，，共线时，的周长取最小值：，的周长的最小值为实轴长的3倍，可得，可得：，，双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．16．（2015•西安模拟）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为 9 ．【解答】解：双曲线中，，，，，，，，，，所以，．故答案为：9．