专题3数列专题压轴小题一、单选题1．（2021·湖北·高三期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法错误的是（）A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为B．C．使得不等式成立的的最大值为4D．数列的前项和2．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知数列满足，满足，，则下列成立的是（）A． B．C． D．以上均有可能3．（2021·浙江·高三月考）已知各项都为正数的数列满足，，给出下列三个结论：①若，则数列仅有有限项；②若，则数列单调递增；③若，则对任意的，陼存在，使得成立．则上述结论中正确的为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（2021·上海市大同中学三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列中，，，若存在实数，使得对任意的恒成立，则（）A． B． C． D．6．（2021·江苏·海安高级中学高三期中）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2021·安徽合肥·一模（文））将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则（）A． B． C． D．8．（2021·江苏苏州·高三期中）设数列，若存在公比为q的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）A．数列；2，4，8，16，32是数列：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B．若数列存在“等比分割数列”，则有和成立，其中C．数列：，，2存在“等比分割数列”D．数列的通项公式为，若数列的“等比分割数列”的首项为1，则公比9．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知数列{an}满足3a1＝1，n2an+1﹣an2＝n2an（n∈N*），则下列选项正确的是（ ）A．{an}是递减数列B．{an}是递增数列，且存在n∈N*使得an＞1C．D．10．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（理））已知数列满足，，若，且存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．11．（2021·浙江金华·高三月考）已知数列的各项均不为零，，它的前n项和为．且，，（）成等比数列，记，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，12．（2021·河北石家庄·高三月考）已知数列满足，对任意的有，设数列满足，，则当的前项和取到最大值时的值为（）A． B． C． D．13．（2021·辽宁实验中学高三期中）数列中，，，使对任意的（）恒成立的最大值为（）A． B． C． D．14．（2021·黑龙江·高三期中（理））设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为15．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（）①；②；③存在无穷多个,使；④A．4 B．3 C．2 D．116．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，记数列的前项和为，则正确的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．存在，使得D．存在，使得17．（2021·浙江·模拟预测）已知数列满足，，，（π≈3.14）则此数列项数最多为（）A．2019项 B．2020项C．2021项 D．2022项18．（2021·北京房山·高三开学考试）已知集合，，从集合中取出个不同元素，其和记为：从集合中取出个不同元素，其和记为.若，则的最大值为（）A．17 B．26 C．30 D．3419．（2021·浙江·乐清市知临中学高三月考）设数列满足，，记，则使成立的最小正整数是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．202320．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））若数列满足：，，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”下列说法正确的有（）①若数列是等差数列，则具有“三项相关性”②若数列是等比数列，则具有“三项相关性”③若数列是周期数列，则具有“三项相关性”④若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，，则对，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②21．（2021·上海·格致中学高三月考）正数数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（）A． B． C． D．22．（2021·浙江·高三月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．二、多选题23．（2021·广东·模拟预测）已知数列中，，且，设，则下列结论正确的是（）A．B．数列单调递增C．D．若为偶数，则正整数n的最小值为824．（2021·重庆南开中学高三月考）已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（）A．存在，使得 B．是等比数列C．的个位数是5 D．的个位数是125．（2021·江苏·金陵中学高三开学考试）已知数列满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（）A．数列单调递增，数列单调递减 B．C． D．26．（2021·湖北武汉·高三期中）已知数列满足，，前n项和为，则下列选项中正确的是（）（参考数据：，）A． B．C． D．是单调递增数列，是单调递减数列27．（2021·湖北·高三月考）将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（）A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和28．（2021·湖北黄石·高三开学考试）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（）A．向量与向量所成角为B．C．D．若，则数列的前n项和为29．（2021·湖北武汉·高三开学考试）数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推.记的前项和为，则（）A． B．存在正整数，使得C． D．数列是递减数列30．（2021·福建省福州第一中学模拟预测）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（）A． B．C． D．31．（2021·江苏·模拟预测）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列 B．是等比数列C． D．32．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（）A． B．数列是递增数列C． D．33．（2021·江苏泰州·模拟预测）已知下列说法正确的是（）A．设，则数列的前项的和为B．C．=()D．为等比数列34．（2021·全国·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，，则（）A．B．C．是等比数列D．设，则三、双空题35．（2021·山东济宁·高三期中）十九世纪法国数学家卢卡斯提出数列：2，1，3，4，7，…，称之为卢卡斯数列，且满足，，，则________；记为数列的前项和，若，则__________.36．（2021·江苏如皋·高三月考）已知数列对任意的，都有，且，①当时，___________．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则___________．37．（2021·广东·高三月考）将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．38．（2021·北京二中高三月考）定义在上的函数满足：①当时，②.（i）_____；（ii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_______.39．（2021·福建·三明一中模拟预测）黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．已知正项数列的前n项和为﹐且满足，则__________，__________．（其中表示不超过x的最大整数）40．（2021·山东日照·高三月考）牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，则的次近似值为______：设，数列的前项积为．若任意的，恒成立，则整数的最小值为______．41．（2021·浙江浙江·模拟预测）已知等差数列的公差大于，且满足，，则数列的公差___________，前项和___________.42．（2021·山西太原·一模（理））已知数列满足，，且．则数列的通项公式为________．若，则数列的前项和为________．43．（2021·浙江温州·二模）有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的型；感染病毒尚未康复的型；感染病毒后康复的型（所有康复者都对病毒免疫）．根据统计数据：每隔一周，型人群中有95%仍为型，5%成为型；型人群中有65%仍为型，35%成为型；型人群都仍为型．若人口数为的人群在病毒爆发前全部是型，记病毒爆发周后的型人数为型人数为，则_________；__________．（用和表示，其中）四、填空题44．（2021·上海·模拟预测）设整数数列，，…，满足，，且，，则这样的数列的个数为___________.45．（2021·福建省福州格致中学高三月考）已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是___________.46．（2021·全国·高