2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若，则复数z的虚部为（   ）A．-5 B．5 C．7 D．-72．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．或3．设，则（    ）A． B． C．1 D．24．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（   ）A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线5．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ）A． B． C． D．6．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．已知函数则下列结论正确的是（    ）．A．， B．，C．函数在上单调递增 D．函数的值域是8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（    ）A．10 B．12 C．13 D．159．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（    ）A． B． C． D．10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（    ）A． B． C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.12．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．  13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：  根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．14．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.15．在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：①对任意的，都有②数列不可能为常数列③若，则数列为递增数列④若，则当时，其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．的内角的对边分别为，，且______．在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求的面积；(2)若，求．17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为，求的分布列与数学期望；(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，考核成绩的平均数和方差分别为，试比较与与的大小.（只需写出结论）18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值；(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.19．已知椭圆过点，长轴长为.(1)求椭圆的方程及其焦距；(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.20．已知函数.(1)若，求在处切线方程；(2)求的极大值与极小值；(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.21．已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若，求的值；(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.公众号：高中试卷君