2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（通用版）02数学·全解全析一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．解不等式组：   （    ）A．或且 B．或且C．且 D．且【答案】C【分析】分别解不等式，再求不等式的公共部分即可．【详解】，解①得，，解②得，，解③得，且，∴不等式组的解集为且，故选：C．2．广东是一个经济高速发展的省份，在2022年第一季度生产总值（GDP）排行榜中，深圳市、佛山市、东莞市、广州市占全省GDP总量分别是，，，，其中深圳市的GDP总量为7064.61亿元，据此推断，下列说法不正确的是（ ）A．广东省第一季度GDP总值约为27498亿元B．佛山市GDP总量用科学记数法写作约为元C．在四市GDP占全省总量数据中，中位数为D．在四市GDP占全省总量数据中，平均数为【答案】A【分析】A、根据深圳市的GDP总量和所占百分率可求广东省第一季度GDP总值；B、先求出佛山市GDP总量，再根据科学记数法即可求解；C、根据中位数的定义即可求解；D、根据平均数的定义即可求解．【详解】解：A、广东省第一季度GDP总值约为（亿元），符合题意；B、（亿元），2741亿元元元，故佛山市GDP总量用科学记数法写作约为元，不符合题意；C、从小到大排列为，，，，则中位数为，不符合题意；D、，不符合题意．故选：A．3．在中，，，为的角平分线交于点，已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作于，，在中，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，利用勾股定理求出，由角平分线的性质得出，证明得到，在中，利用勾股定理列出方程关于的方程，解方程即可．【详解】解：过点作于，，∵，，，∴，，，∴，∵，平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴．故选：B．4．若点，为反比例函数上的两点，点为轴上的一个动点，当取得最小值时，点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定反比例函数关系式，再确定点的坐标，作点关于轴的对称点，求出的坐标，连接，交轴于点，根据两点之间线段最短，可知即为的最小值，再确定直线的解析式，确定直线与轴的交点坐标即为点的坐标．【详解】解：∵点，为反比例函数上的两点，∴，得：，∴反比例函数关系式为，  当时，得：，∴，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，∴，∴，∴的最小值即为线段的长，设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴点的坐标为，故选：B．  5．如图，，，，且，，那么的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出AB=FE，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△FDE，得到，然后根据直角三角形两锐角互余得出答案.【详解】解：∵，∴AB=FE，∵，，∴在Rt△ACB和Rt△FDE中，，∴Rt△ACB≌Rt△FDE（HL），∴，∴，故选：B.6．从－3，－1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的方程有实数解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a值之和是（    ）．A．﹣3 B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的判别式求出符合条件的a的值，再根据分式方程求出符合条件的a的值，由此确定符合条件的共同的a值，即可计算得到答案.【详解】∵关于x的方程有实数解，∴∆≥0，即4+4（1-2a）≥0，∴a≤1，故符合一元二次方程有实数解的a值是：-3，-1，，1；，去分母得：ax-1=x-3，解得，∵关于x的分式方程有整数解，∴a=-1或，∴这5个数中所有满足条件的a值之和是-1+=-，故选：B.7．如图，直线，分别与直线交于两点，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出从．【详解】解：如图，  ，，又，，故选：D．8．“”是“”的（     ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系以及必要不充分条件的判定方法即可得到答案.【详解】因为，所以前者无法推出后者，后者可以推出前者，故“”是“”的必要不充分条件，故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（多选）下列选项中，p是q的充要条件的为（ ）A．B．p：，q：C．p：，q：D．p：，q：【答案】BD【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断，即可由选项逐一求解.【详解】对于A选项，p⇒q，但不一定得到，故p不是q的充要条件；对于B选项，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；对于C选项，不能得到，但一定，故p不是q的充要条件；对于D选项，p⇒q，且q⇒p，故p是q的充要条件．故选：BD.10．关于x，y的二元一次方程组，下列说法中正确的是（ ）A．当时， B．若，则C．x，y满足关系式 D．若，则【答案】ACD【分析】用代入消元法先求出方程组的解，按照各项的条件逐一验证即可．【详解】解：，①②，得，解得，将代入①，解得，原方程组的解为，当时，，，故A正确；当时，即，解得，故B错误；，故C正确；若，可得，将，代入可得，，解得，故D正确，故选：A、C、D．11．小亮用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，由于粗心，他算错了其中一个y值，下列四个结论正确的是（    ）x…0123…y…0…A．B．对于任意实数m，总成立C．抛物线与x轴的交点为和D．点，在抛物线图象上，若，则【答案】ACD【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等可判断A；根据二次函数的最值可判断B；根据二次的对称性可判断C；根据二次函数的性质可判断D．【详解】解：A．由函数图象关于对称轴对称，得，在函数图象上，，，故A正确，符合题意；B．顶点为，函数有最小值，对于任意实数，则，即总成立，故B错误，不合题意；C．抛物线过，，，，代入得，解得，，当时，，抛物线与轴的一个交点为，抛物线与轴的一个交点为，抛物线与轴的交点为和，故C正确，符合题意；D．二次函数图象以为对称轴，抛物线开口向上；点，在抛物线图象上，，，．故D正确，符合题意．故选：ACD．12．下列说法错误的是 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为B．方程的解集为C．集合与是同一个集合D．若，则【答案】BCD【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．【详解】对于：因为等价于或，如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限，所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确；对于：由于方程的解集等价于，解得，故解集为，故错误；对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集，集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；对于：因为，则，故错误，故选：BCD．三、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。13．5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒，将1300000用科学记数法表示应为__________．【答案】【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n的值为这个数的整数位数减1，由此即可解答．【详解】1300000=．故答案为：．14．计算：_____________．【答案】/729【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法、二次根式的乘法进行计算，即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．15．边长为的正方形中，点为的中点．连接，将沿折叠得到，连接交于点，则的长度为_____________．【答案】【分析】如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，连接，与相交于点，过点作轴于点，可得，，，，在中得到，，根据折叠的性质可得点与点关于直线对称，在中得到，，可得，根据中点坐标公式可得，确定直线的解析式为，直线的解析式为，解联立方程组可得，最后利用两点间距离公式可得出答案．【详解】解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，连接，与相交于点，过点作轴于点，∵正方形的边长为，点为的中点，∴，，，，∴，，，∴，∴，，∵沿折叠得到，∴点与点关于直线对称，∴，为的中点，∴，在中，，∵，，∴，在中，，，∴，∵，为的中点，∴，设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵交于点，∴，解得：，∴，∴，∴的长度为．故答案为：．16．若，则的值是______．【答案】26【分析】根据因式分解及整体代入法可进行求解．【详解】解：∵，∴；故答案为26．17．如图，在矩形中，与交于点，交于点，且，则________．  【答案】【分析】先通过作辅助线构造一条和相等的线段，再构造三角形相似，利用相似三角形的性质求出线段的长，最后利用勾股定理求出的长度．【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，在上取点，使，连接，在上取点，使，连接，  在矩形中，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，解得，，在中，．．故答案为：．四、解答题：共8小题，18、19、20各6分，21、22各8分，23、24各10分共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．已知二次函数.(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象；(2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；(3)x为何值时，?【答案】(1)答案见解析(2)与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为，(3)答案见解析【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可，再利用五点作图法画出函数图象即可；（2）根据函数图象即可求出与坐标轴的交点坐标，进而可求得面积；（3）利用函数图象即可得解.【详解】（1），因为，函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，列表：0描点并画图，得函数的图象，如图所示．  （2）由（1）得，函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，所以；（3）由函数图象知，当或时，；当或时，；当时，.19．已知集合，．(1)若，求实数m的取值范围；(2)当时，求C的非空真子集的个数．【答案】(1)(2)254【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.【详解】（1）∵，∴，①若，则，解得；②若，则，可得.由可得，解得，此时.综上所述，实数m的取值范围是.（2）∵，集合C中共8个元素，因此，集合C的非空真子集个数为.20．勾股定理是几何学中的瑰宝，千年前数学家提出了勾股定理后，在漫长历史长河中，无数学者给出了不同的方法证明这曼妙的等式，下面我们一起探索勾股定理的奥妙吧．  (1)陈述该定理并给出证明（证明所需的图请自己在答题卡上作出，仅需一种方法证明即可）；(2)在中，，已知，作的垂直平分线交于点,交于点，求线段的长度．（请在答题卡上用无刻度的尺子与圆规作出该垂直平分线后再进行求长度，不要求写出作法，但要求保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析，【分析】（1）以、为直角边，以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，把这四个直角三角形拼成以c为边的正方形，即可解答；（2）按要求画出图形，设为x，利用勾股定理列方程，解方程即可解答．【详解】（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边平方和等于斜边的平方证明：以、为直角边，以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．  ∵，∴．∵，∴，即，同理可得，，四边形为矩形，，∴四边形是一个边长为的正方形，它的面积等于，∵，，同理可得，四边形是一个边长为的正方形，它的面积等于，∴，