2023年无锡市初中毕业升学考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.实数9的算术平方根是（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2.函数y＝中自变量x的取值范围是（）A.x＞2 B.x≥2 C.x≠2 D.x＜2【答案】C【解析】【分析】令分母不等于0求解即可．【详解】由题意得x-2≠0，∴x≠2．故选C．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．3.下列4组数中，不是二元一次方程的解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解．【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；B、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；C、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．4.下列运算正确是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．5.将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目条件函数的图像向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可．【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位长度，∴，故答案为：A．【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键．6.2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【详解】解：由题意得：．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：，，∵，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．8.下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可．【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③真命题；根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题.故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型．9.如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（）A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：过点C作，∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．10.如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（）A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④【答案】A【解析】【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；如图，点不是中点，所以点不是重心；①正确②当，如图时最大，，，，，，，②错误；③如图5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③错误；④如图6，，∴，即，在中，，∴，∴，当时，最大为5，∴④正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11.分解因式：__________．【答案】##【解析】【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．12.废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．数据用科学记数法可表示__________．【答案】【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．13.方程的解是：__________．【答案】【解析】【分析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，检验：把代入最简公分母中：，∴原分式方程的解为：，故答案为：【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．14.若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为__________．【答案】##【解析】【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．【详解】解：∵侧面展开图是边长为的正方形，∴底面周长为，∵底面为正三角形，∴正三角形的边长为作，是等边三角形，，，在直角中，，；∴该直三棱柱的表面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．15.请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点：__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．【详解】解：设，则，∵它的图象经过点，∴代入得：，解得：，∴一次函数解析式为，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查对一次函数的常数k、b的理解和待定系数法的运用，是开放型题目．16.《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺．【答案】8【解析】【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，∴，解得：或（舍去），故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．17.已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为__________．【答案】6【解析】【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．【详解】当点在轴上，点、在轴上时，连接，为等边三角形且，则，，如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点，，，，，，，，．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．18.二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为__________．【答案】或或【解析】【分析】先求得，，，直线解析式为，直线的解析式为，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线过中点，②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线，⑥如图6，直线，同理可得，进而根据，即可求解．【详解】解：由，令，解得：，令，解得：，∴，，，设直线解析式为，∴解得：∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，∵，∴，∴点必在内部．1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线设直线的解析式为∴解得：则直线的解析式为①如图1，直线过中点，，中点坐标为，代入直线求得，不成立；②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；③如图3，直线过中点，中点坐标为，直线与轴平行，必不成立；2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．④如图4，直线，∴∴，∴，解得；⑤如图5，直线，，则∴，又，∴，∵，∴不成立；⑥如图6，直线，同理可得，∴，，，∴，解得；综上所述，或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算：（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式进行计算即可求解．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了有理数的乘方，求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的乘法，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．20.（1）解方程：（2）解不等式组：【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大