2024年1月“七省联考”押题预测卷01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，集合，则（）A. B. C. D.R【答案】B【解析】由题意，集合，，根据集合交集的运算，可得.故选：B.2．已知是虚数单位，若非零复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，由可得，所以，，又因为，所以，，则，故.故选：A.3．江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游可能情况有种情况，只选一个苏州古镇的概率为．故选：B4．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由条件得，∴，即．设投资年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有，解得，．所以再过年，该项投资产生的社会经济笑意是投资额的8倍．故选：B．5．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（ ）A.2 B.4C.6 D.8【答案】C【解析】因为，且与的夹角为，如图所示，设，则，由题意知，设，因为，在中，由正弦定理得，解得，所以的最大值为.故选:C.6．设一组样本数据，，…，的极差为1，方差为0.1，若数据，，…，的极差为2，则数据，，…，的方差为（）A.0.02 B.0.04 C.0.2 D.0.4【答案】D【解析】由题意可知，一组样本数据，，…，的极差为1，则，又数据，，…，的极差为2，则，所以，故数据，，…，的方差为，故选：D7．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，且，以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，，，所以.故选：B8．已知函数，设，则（）AB.C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，，故为偶函数，当时，，令，则，即在上单调递增，故，所以，则在上单调递增，由于，，，所以．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A.若随机变量，满足，则B.若随机变量，且，则C.若样本数据（，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验（），可判断X与Y有关【答案】BCD【解析】对A，由方差的性质可知，若随机变量，满足，则，故A错误；对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；对C，根据回归直线方程过样本中心点可知C正确；对D，由可判断X与Y有关，故D正确.故选：BCD．10．已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.数列是等差数列 D.数列是等比数列【答案】ABD【解析】设的公差为，的公比为，则，所以是常数，故A正确；易知是常数，故B正确；由不是常数，故C错误；是常数，故D正确.故选：ABD11．已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（）A.直线的方程为 B.线段的长为C.直线过定点 D.的最小值是2．【答案】BC【解析】由题知，联立，两式相减得，即直线的方程为，A错；联立，解得或，所以，B正确；对于C，设，因为，为圆的切点，所以直线方程，直线的方程为，又设，所以，故直线的方程为，又因为，所以，由得，即直线过定点，C正确；因为，所以当最小时，最小，且最小为，所以此时，D错.故选：BC12．直四棱柱，所有棱长都相等，且，为的中点，为四边形内一点（包括边界），下列结论正确的是（）A.平面截四棱柱的截面为直角梯形B.面C.平面内存在点，使得D.【答案】AB【解析】对A，取的中点为，，为截面，因为，设，在中，，得，则，即，又平面，平面，则，，面，面，可知面，且面，所以，A对对B，因为面，且面，则，又，，平面，平面，则平面，B对；对C，过作，因为平面，平面，，，平面，所以平面，延长交面于，连接交于，则为在面的射影，若，又平面，则，，平面，则平面，平面，则有，但当在四边形内运动时，在上运动，此时不可能与垂直，C错；对D：连接交于，交于S，连接交于,，因为平面，则平面，则为点到面的距离，为点到面的距离，，则点到面的距离即点到面的距离，即，则，，则，D错；故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为_____________.（用数字作答）【答案】1120【解析】由,得.展开式的通项，令,得,则展开式中含的项为.所以的系数为1120.故答案为：1120.14.若函数的图象在内恰有2条对称轴，则的值可能为_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】．当时，，因为函数的图象在内恰有2条对称轴，所以，解得，则的值可能为故答案为：（答案不唯一）15.甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则__________.【答案】##【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故答案为：.16．如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是的中点，若，且，则双曲线的离心率是__________.【答案】【解析】设，则，解得，即，由题意，所以，所以．又设，则，两式相减得，即，所以，又，化简得，．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知中，角，，的对边分别为，，，．（1）求角；（2）若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，即，因为，所以，又因为，，，，所以，所以；（2）证明：因为，所以，设，在中，，则．可得，，在中，由正弦定理得，，又因为，所以，则，化简得，因为，即，则．所以是直角三角形．18．已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．（1）证明：数列是公差为2的等差数列；（2）设数列的前项的和为，若，证明．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以．从而可得．当时，．即可得，所以数列是公差为2的等差数列；（2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得，从而可得．所以数列的通项公式．所以．从而可得．所以成立．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E为棱AB的中点，AC⊥PE，PA=PD.（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】（1）如图，连接,取中点,连接,因底面ABCD为菱形，故,又E为棱AB的中点，故，则，已知平面，故平面，因平面，则，因，则又平面则平面，又平面，故平面平面（2）如图，连，由（1）知平面，且∠BAD=60°，则是正三角形，,故可以分别为轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设,则于是,设平面D的法向量为，则有可取.因，故可取平面的法向量为.设二面角的平面角为，则为锐角，故则即二面角的正弦值为.20．设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题可得，，所以因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为（2），设因为直线与直线的倾斜角互补，所以可知，即，化简得设直线，将代入上式，整理可得且由消元化简可得，所以，代入上式由，解得所以因为点到直线PQ的距离，且所以令，则所以，.当且仅当，时取等号.所以的面积的最大值为21．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.（1）当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）【答案】（1）分布列见解析，数学期望为（2）N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布【解析】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.服从超几何分布，，，，，，∴的分布列为0123数学期望为.（2），，由于，则，即，即，由题意易知，从而，化简得，又，于是.由于函数在处有极小值，从而当时单调递增，又，.因此当时，符合题意，而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.22．已知函数，（）.（1）若为偶函数，求此时在点处的切线方程；（2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】（1）为偶函数，有，则，所以，所以，所以在点处的切线方程为.（2）（ⅰ），，因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则，令可得或，所以，解得且.令，，则有：+00+极大值极小值可知分别在和取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数的取值范围是.（ⅱ）由，可得，所以，，，且有，由题意可得对恒成立，由于此时，则，所以，则，令，其中，则，令，则.①当，即时，，在上是严格增函数，所以，即，符合题意；（2）当，即时，设方程的两根分别为，且，则，，则，则当时，，则在上单调递减，所以当时，，即，不合题意.综上所述，的取值范围是.