2024年1月“七省联考”押题预测卷03数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.2．设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，∴，又，所以，∴或（舍去），所以，所以在方向上的投影向量为.故选：A4．形如我们称为“二阶行列式”，规定运算，若在复平面上的一个点A对应复数为，其中复数满足，则点A在复平面内对应坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，所以点A在复平面内对应坐标为.故选：A.5．已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知：，所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，即直线是两圆的一条公切线；对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，即直线是两圆的一条公切线；对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，即直线是两圆的一条公切线；对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，即直线不可能是两圆的公切线；故选：D.6．若函数在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,则或，即或故可取，由于，则，要使在内恰好存在4个，使得，则，解得，故选：B7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯的层数最少为（参考数据：，）（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】设经过层棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为，则，令，解得，两边取常用对数得，即即，因为，，所以，解得，因为，所以的最小值为9．故选：A8．设，，，则a，b，c的大小关系为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】设，作出单位圆，与轴交于点，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点，由三角函数定义可知，，，设扇形的面积为，则，即，故，因为，所以，又，由得，即，令，，则，当时，，故在上单调递减，所以，所以，故，综上，.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B.数据的第60百分位数为9C.若样本数据的平均数为2，则的平均数为8D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是【答案】BC【解析】对于A，易知，而，所以，A错误；对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B正确；对于C，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，错误.故选：BC10．在正四棱台中，，，则（）A.该正四棱台的体积为B.直线与底面所成的角为60°C.线段的长为10D.以为球心，且表面积为的球与底面相切【答案】BD【解析】连接，，过作，垂足为.因为，，所以，，所以，，所以该正四棱台的体积，A错误.直线与底面所成的角为，由，所以，B正确.，C错误设以为球心，且表面积为的球的半径为，则，解得，所以以为球心，且表面积为的球与底面相切，D正确.故选：BD.11．已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（）A. B.C.点坐标可以是 D.有最大值【答案】ACD【解析】对于A，联立消y可得，直线与双曲线只有一个公共点，且，则，∴，∴，即选项A正确；对于B，由方程可得，则，∴，则的直线方程为，令，，令，，所以，即B错误；对于C，则易知，若，则，，取，，即，所以C正确；对于D，可得，当且仅当时，等号成立，即D正确；故选：ACD12．已知函数，的定义域均为R，它们的导函数分别为，，且，，若是偶函数，则下列正确的是（）．A.B.的最小正周期为4C.是奇函数D.，则【答案】ABD【解析】A选项，为偶函数，故，两边求导得，，令得，解得，A正确；B选项，因为，，所以①，因为，所以②，则①②相减得，③，又④，则③④相减得，即，又，故的最小正周期为4，B正确；C选项，假如为奇函数，则，当时，可得，但，当可得，显然不满足要求，故不是奇函数，C错误；D选项，因为，所以，又，故，由B选项得，故，解得，且，由B选项知的一个周期为4，故，所以，则，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为______（用数字作答）.【答案】【解析】令可得二项式的所有项系数和为，所以.二项式的展开式的通项公式为，，1，…，8，所以的展开式中，的系数为.故答案为：14.随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：则最小值为______.【答案】【解析】依题意知，则，则，设，则，故，所以，当时，取最小值，故答案为：15.已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】由，当时，，当时，由得，两式相减并化简得，也符合上式，所以，令，为常数，所以数列是等差数列，首项，所以，对称轴为，由于对任意的恒成立，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：16．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】##【解析】由得，即，设，则，，当时，，所以在上单调递增．因为x，y均为正实数，所以，由，可得，即．由知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以．则．令，则，所以在上单调递减，所以，所以，即的最小值为．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求C；（2）若，，点D在边AB上，且，求CD的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知借助正弦定理可得：，即，即，，故；（2）由余弦定理知，∴，由知，，即.18．已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，时，,两式相减得，，，，，相乘得，所以，当时符合上式，所以；（2），当为奇数时，.19．如图，直三棱柱中，为等腰直角三角形，，E，F分别是棱上的点，平面平面，M是的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）过F作交于，因为平面平面，平面平面，平面，则，平面，为中点，且，，又平面，平面，，又平面，，平面，，平面，平面，平面．（2），可确定一平面，，平面，平面平面，平面，平面平面，，四边形为平行四边形，以为x，y，z轴建系，则，设为平面的法向量，，则，即，令，则，是平面的一个法向量，为平面的一个法向量，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.（1）计算主持人打开4号箱的概率；（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）【答案】（1）（2）甲应该改选1号或3号箱.【解析】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，设分别表示主持人打开号箱子，则，且两两互斥.由题意可知，事件的概率都是，，，，.由全概率公式，得.（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为，，，通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.21．已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.（1）当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；（2）若点P的坐标为，求直线AB的斜率.【答案】（1）是定值，定值为（2）【解析】（1）由题意知，，，所以，，所以，设直线CD的方程为，设，，联立直线CD与椭圆的方程，整理得，由，解得，且，则，，所以，故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为.（2）设，，，记()，得.所以.又A，D均在椭圆上，所以，化简得，因为，所以，同理可得，即直线AB：，所以AB的斜率为.22．已知函数，．（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数取值范围；（3）已知，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）当时，∵，∴，令得，或（舍）当，，单调递减；当，，单调递增∴当时，即，∴（2）令（），则．当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，．（3）当时，由（1）可得，则，可得，即，即（），令，所以，，所以，，即（），所以，，，令（），则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则（），所以，，，所以，．