2024年高考数学综合基础卷【赢在寒假】山东专用（一）班级_______姓名：_______考号：_______单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意分别解绝对值不等式、对数不等式化简集合，由交集的概念即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.2．已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可【详解】对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；故选：D3．已知，则下列结论错误的是（    ）A．是周期函数B．在区间上单调递增C．的图象关于对称D．方程在有2个相异实根【答案】B【分析】根据函数周期性定义可判断A；根据特殊值，即时，函数无意义判断B；结合正弦函数的对称性判断C；求出方程在上的根，判断D.【详解】函数，定义域为，对于A，，故是周期函数，A正确；对于B，当时，，则，此时无意义，故B错误；对于C，当时，，即的图象关于对称，由于的定义域为也关于对称，故的图象关于对称，C正确；对于D，令，即，则，或，即，或，则当时，，即方程在有2个相异实根，D正确，故选：B4．已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（    ）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】根据渐近线垂直，可得的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得，又因为焦距为，故可得，结合，解得，故实轴长.故选：B.5．已知复数满足：，则的最大值为（    ）A．2 B．C． D．3【答案】B【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可.【详解】设，其中，则，∵，∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，∴即为圆上动点到定点的距离，∴的最大值为.故选：B.6．已知，则有（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造，根据导函数得出函数在上单调递增，即可得出，所以；构造，根据导函数得出函数在上单调递增，可判断，再根据对数函数的运算性质得到.【详解】令，则.当时，有，所以，所以，在上恒成立，所以，在上单调递增，所以，，所以，，即，所以.令，则在时恒大于零，故为增函数，所以，而，所以，所以，故选：C7．若过可作的两条切线，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设切点为，利用导数的几何意义可得切线方程为：，把点代入可得：，则此方程有大于0的两个实数根，列出不等式组，求解即可得出结论．【详解】设切点为，切线的斜率，则切线方程为：，把点代入可得，化为：，则此方程有大于0的两个实数根．则，即，则，故选：A．8．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（    ）A．10 B．15 C．20 D．21【答案】D【分析】根据条件，得到函数的周期为，再根据条件得出时，，从而得出，再利用周期性及图像即可求出结果.【详解】因为，令，得到，所以，从而有，又函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以函数的周期为，令，则，又当时，，所以，得到，故，又，所以在上的图像如图，又当时，由，得到，当，由，得到，即，又，所以，，，又由，得到，即，所以，再结合图像知，在上的零点个数为21个，故选：D.多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（    ）A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度【答案】AC【分析】由统计图可知，产能利用率低于“安全线”的季度为图表中的后5个季度，可知A正确；对这10个数据从小到大（或从大到小）排列后求第5个和第6个的平均数可得其中位数；利用平均数的定义直接求平均数，由图可知汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度【详解】10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度，共5个季度，A正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为，B错误；由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为，C正确；与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差，而2019年第4季度与上一季度相差，D错误.故选：AC10．已知，下列结论正确的是（    ）A．对任意实数B．若，则C．若，则的最小值是D．若，则【答案】BC【分析】举出反例即可判断AD；作差即可判断B；根据结合基本不等式即可判断C.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，因为，，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，则，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值是，故C正确；对于D，当时，，，，故D错误.故选：BC.11．已知数列中，则（    ）A．的前10项和为B．的前100项和为100C．的前项和D．的最小项为【答案】BC【分析】A.由，利用错位相减法求解判断；B.由，利用幷项求和判断；C.由，利用裂项相消法求解判断；D.由，利用对勾函数的性质求解判断.【详解】A.易知，则，，，两式相减得，，，，则，故错误；B.易知，则其前100项和为，故正确；C.，故正确；D.易知，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，而，当时，，当时，，所以的最小项为，故错误；故选：BC12．如图，长方形中，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，在翻折的过程中，以下结论正确的是（    ）A．存在点，使得B．四棱锥体积的最大值为C．的中点的轨迹长度为D．与平面所成的角相等【答案】ABD【分析】根据面面垂直性质，锥体体积、动点轨迹、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，当平面平面时有，下面证明：在底面中，，所以，当平面平面时，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确.对于B，梯形的面积为，，直角斜边上的高为．当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值，B正确．对于C，取的中点，连接，则平行且相等，四边形是平行四边形，所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同．过G作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以H为圆心，为半径的半圆弧，从而PD的中点F的轨迹长度为，C错误.对于D，由四边形ECFG是平行四边形，知，又平面，平面，则平面，则到平面的距离相等，故与平面所成角的正弦值之比为，D正确．  故选：ABD三、填空题（每小题5分，共计20分）13．某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是.【答案】840【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解.【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为．根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且，故．由，因此，则该报告厅总座位数为840个座位．故答案为：84014．抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为.【答案】5【解析】求得圆心的坐标，由此求得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义，求得到抛物线焦点的距离.【详解】圆的圆心为，即，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，其准线方程为，则A到抛物线焦点F的距离等于到抛物线准线的距离，即距离为.故答案为：15．函数在上存在零点，则整数t的值为．【答案】1【分析】得到的单调性，结合零点存在性定理及特殊值求出答案.【详解】在R上单调递增，由零点存在性定理可知，，由于，故整数.故答案为：116．某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组通过测量的三边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已知测得，则该石雕最高点到地面的距离为.【答案】【分析】补齐为正方体，设，结合勾股定理列出方程组即可解得，进而求得该石雕所在正方体的棱长，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到平面的距离，进而求解.【详解】如图，补齐为正方体，设，，，则，解得，，，即该石雕所在正方体的棱长为.以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，所以点到平面的距离为，即该石雕最高点到地面的距离为.故答案为：.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,当选①②时:,解得,所以的通项公式.选①③时:,解得,所以的通项公式.选②③时:,解得,所以的通项公式.（2）由(1)知,,所以,所以.18．记的内角的对边分别为，已知.(1)求：(2)若，求面积.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，可求；（2）由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角，面积公式求面积.【详解】（1）由余弦定理，得，所以.（2）若，由正弦定理，，，所以，因为，故，所以，又，所以，故的面积为.19．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．    (1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意得，取的中点，则，因为平面平面，所以平面，，又，所以平面，从而，利用线面垂直的判定定理可得结论；（2）由平面，故为与平面所成的角，可求得，由题意可得为线段的中点，取的中点为，则，所以平面，则，过点作，垂足为，则，所以为二面角的平面角，求解即可．【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面．  （2）由（1）知，平面，故为与平面所成的角，∴，∴，又平面，平面，所以，，，∴，∴，即为线段的中点．取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，，又平面，所以平面，平面．所以，过点作，垂足为，连接，，，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角．在等边三角形中，，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由，即，解得．因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为．20．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾