2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数的虚部是2，则（    ）A． B． C．3 D．3．执行如图所示的程序框图，若输出p的值为21，则空白框内可以填入的是（    ）A． B． C． D．4．已知中，，，，O为所在平面内一点，且,则的值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．95．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ）A．2 B． C． D．6．已知长方形ABCD中，，E，H分别是AB，AD的中点，F是BC边上靠近B的三等分点，G是DC边上靠近D的四等分点．现往长方形ABCD中投掷96个点，则落在阴影部分内的点有（    ）A．46个B．48个C．54个 D．72个7．已知平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则“”是“是第四象限角”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A、B、C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有（    ）A．140 B．150 C．200 D．22010．已知函数的部分图象如图所示，其中，，现先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）  A． B． C． D．11．已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ）A． B． C． D．12．已知函数，实数，分别满足，，则下列结论成立的是（    ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，若，则．14．若满足约束条件，则的最小值是．15．已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为．16．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.(1)求的通项公式；(2)当时，设数列的前项和为，证明：.18．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱的中点，点在棱上，且．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村城市总计从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.(1)补全列联表，判断能否有的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望.附：20．（12分）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同交点，且直线交轴于，直线交轴于.(1)求直线斜率的取值范围；(2)证明：存在定点，使得，且.21．（12分）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求，的值；(2)若函数，且恰有2个不同的零点，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（为参数，），曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；(2)若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；(2)若不等式恒成立，求实数的值．