专题04全等三角形模型训练一线三等角模型1．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为．    【答案】10【分析】先证明，再证明，即可作答．【详解】，又，，，，，，，，，，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．  (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)见解析(3)【分析】（1）①由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，证明；②由，所以，，即可得到；（2）根据等角的余角相等得到，证明，得到，，所以；（3）、、具有的等量关系为：．证明的方法与（2）相同．【详解】（1）①∵，，∴，∴，，∴，在和中，，∴；②∵，∴，，∴；（2）证明：∵，，∴，∴，在和中，，∴；∴，，∴；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：．理由如下：∵，，∴，∴，在和中，，∴；∴，，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．3．综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：；(2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．【答案】(1)(2)(3)①，理由见解析；②【分析】（1）由全等得到边长关系即可．（2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标．（3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系．②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系．【详解】（1）由等腰直角得，，又，又，，（2）过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，，又得，，，，（3）①又，，②与①中同理可得分别取，中点，连接．，,又又，在与中，，【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键．手拉手模型4．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；（2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；（3）作于点于点，证明，由，即可得到结论．【详解】（1）证明：、是等边三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）证明：如图，作于点于点，，，，，，，，平分．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．  (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．  (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．  (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；（2）由“”可证，得，可求的度数；（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如图4，当点D在的延长线上时，，  证明方法同（3）；如图5，当点D在的延长线上时，，  理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．综上，或．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．6．如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．  (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【答案】(1)；(2)为等腰直角三角形，理由见解析(3)面积的最大值为2【分析】（1）由，可推出，又因点，，分别为，，的中点，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；（2）由旋转性质得出，又因，，可证得与全等，参考（1）中的解题思路即可证出，，从而推出为等腰直角三角形；（3）在旋转的过程中，由（2）中的结论知为等腰直角三角形，，当有最大值时，须有的值最大，由三角形三边关系可推断出当B、A、D三点共线时，BD的值最大．【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，∴，∵点、、分别为、、的中点，∴分别是的中位线，∴，∴，∵，∴，故答案为：；；（2）为等腰直角三角形，理由如下：由旋转可知：，又∵，，，，，又、分别是、的中点，是的中位线，∴且，同理，且，，，．，，，为等腰直角三角形；（3）由（1）（2）得，，且为等腰直角三角形，∵，即，∴，∴，∴面积的最大值为2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，中位线的性质等知识点，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键．半角模型7．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）．理由见解析．【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论．【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案为：．（2）结论：．理由：在上截取，连接，∵，，∴，在与中，，∴，∴，，则，∴∵，，∴，在与中，，∴，∴，即，即，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝ 度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．【答案】(1)45(2)DF＝BE+EF，证明见解析(3)2【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论；（2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解．【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至，则F、D、在一条直线上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案为：45；（2）解：DF＝BE+EF    理由如下：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，则∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接，则△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．9．问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝ 度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC；归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；拓展应用：（3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC；（4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．【详解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案为：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；归纳证明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：∵△