专题02有理数的相关概念【知识点1】有理数的基本概念(1)正数和负数：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。(2)0既不是正数，也不是负数。(3)有理数：正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。【知识点2】数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向和单位长度【知识点3】相反数代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a=0。【知识点4】绝对值几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0，那么|a|=-a。a=|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。【知识点5】倒数定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a=±1。【知识点6】数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。题型01：正数与负数（2023春•南岗区校级期中）检测4个足球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是 A． B． C． D．【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球．【解答】解：通过求4个排球的绝对值得：，，，，的绝对值最小．所以这个球是最接近标准的球．故选：．（2023春•黄浦区期中）若收入2008元记为元，则支出168.2元应记为 元．【分析】根据正负数的意义解答即可．【解答】解：因为收入2008元记为元，则支出168.2元应记为元．故答案为：．（2023春•鼓楼区校级期中）如果水位升高2米时水位变化记作，那么水位下降2米时水位变化记作 ．【分析】根据正负数的意义即可求出答案．【解答】解：如果水位升高时，水位变化记作，那么水位下降时，水位变化记作．故答案为：．（2023春•闵行区期中）六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 岁．【分析】根据正数和负数的意义解答即可．【解答】解：如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作岁．故答案为：．题型02：有理数（2023春•闵行区期中）有理数分为 A．正数和负数 B．素数和合数 C．整数和分数 D．偶数和奇数【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：有理数分为整数和分数．故选：．（2023春•闵行区期中）在，，，0，7.6，2，，．这八个有理数中非负数有 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为，0，7.6，2，．【解答】解：在，，，0，7.6，2，，．这八个数中，非负数为，0，7.6，2，，有5个．故选：．（2022秋•蓝山县期中）下列说法正确的是 A．整数包括正整数和负整数 B．分数包括正分数、负分数和零 C．表示一个负数 D．零是整数，但不是正数也不是负数【分析】根据有理数的分类及负数的定义进行判断即可．【解答】解：．整数包括正整数，0和负整数，则不符合题意；．分数包括正分数和负分数，则不符合题意；．当时，，则不符合题意；．零是整数，但它不是正数也不是负数，则符合题意；故选：．（2022秋•魏县期中）与相等的是 A． B． C． D．【分析】根据有理数的加减法则进行计算即可．【解答】解：、，符合题意；、，不符合题意；、，不符合题意；、，不符合题意．故选：．题型03：数轴（2023春•仓山区校级期中）如图，数轴上点表示的数可能是 A． B． C． D．3.3【分析】观察点在数轴上的位置，再作判断即可．【解答】解：点在和之间，且偏一侧，所以符合题意的数是，故选：．（2023春•临清市期中）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式不成立是 A． B． C． D．【分析】通过图象可知，，根据不等式的性质判断即可．【解答】解：根据题干可以确定是选择“不成立”的选项，．，因不等式左右两边同乘，不等号符号应该发生改变，故不成立，选．．，因不等式左右两边同加3，不等号不发生变化，故成立．，因不等式左右两边同乘，不等号不发生变化，故成立．．，因不等式左右两边同时减去同一个数，不等号不发生变化，故成立．故选：．（2023春•建阳区期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示1的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点表示的数是 A． B． C． D．【分析】首先计算出圆的周长，然后可得答案．【解答】解：圆的半径为1，圆的周长为：，点与表示1的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点表示的数是，故选：．（2023春•宁江区期中）如图，数轴上表示的点到原点的距离是 A． B．2 C． D．【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：数轴上表示的点到原点的距离是2，故选：．题型04：数轴的动态问题（2022秋•邗江区期中）在一条可以折叠的数轴上，，表示的数分别是，9，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是 ．【分析】根据与表示的数求出的长，再由折叠后的长，求出的长，即可确定出表示的数．【解答】解：，表示的数为，9，，折叠后，，点在的左侧，点表示的数为．故答案为：．（2023春•德惠市期中）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数比点大12，与之间的距离记作．（1）则点表示的数是 ；（2）在、之间有一点，设点在数轴上对应的数为，当时，求的值．【分析】（1）根据已知条件列出算式计算即可求解；（2）根据等量关系得到方程，解方程即可求解．【解答】解：（1），故点表示的数是10；故答案为：10；（2）依题意有，解得，答：的值为6．（2022秋•灞桥区校级期中）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15．（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；（2）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？（3）若线段、线段分别以1个单位长度秒、2个单位长度秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度秒的速度向右匀速运动．设运动时间为秒，当时，的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．【分析】（1）由已知直接可得答案；（2）求出运动后表示的数是，运动后表示的，根据点与点之间的距离为1个单位长度列方程可解得答案；（3）求出运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，从而可表示出，，代入计算即可得到答案．【解答】解：（1），，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是14，故答案为：，14；（2）根据题意，运动后表示的数是，运动后表示的，，解得或，当为25或23时，点与点之间的距离为1个单位长度；（3）的值不发生变化，理由如下：根据题意，运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是，，，，，为定值，这个定值是42．（2022秋•蓝山县期中）已知数轴上三点、、对应的数分别是，1，4，点为数轴上任意一点，且表示的数是．（1）点到点的距离为多少个单位长度？（2）点到的距离可以表示为 ；（3）如果点到点和到点的距离相等，那么的值是多少？（4）数轴上是否存在点，使点到点与到点的距离之和是8？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可；（2）根据绝对值的几何意义即可得出答案；（3）根据，列方程求解即可；（4）根据，即，求解即可．【解答】解：（1），答：；（2）点到的距离可以表示为，故答案为：；（3）由题意得，，即，解得，答：当时，点到点和到点的距离相等；（4）由题意得，，即，当时，，解得；当时，，解得；答：当点到点与到点的距离之和是8，点所表示的数是或．题型05：相反数（2023春•罗源县校级期中）的相反数是 A．2 B． C． D．【分析】利用相反数的定义判断即可．【解答】解：的相反数是2．故选：．（2023春•柯桥区期中）的相反数是 A． B． C． D．2023【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：的相反数为2023．故选：．（2023春•南岗区校级期中）的相反数是 A． B．3 C． D．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【解答】解：的相反数是．故选：．（2023春•马边县期中）的相反数是 ．【分析】根据互为相反数的两数之和为0，进行求解即可．【解答】解：的相反数是，故答案为：．题型06：绝对值（2023春•西丰县期中）的绝对值是 A． B． C． D．【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．【解答】解：，故选：．（2023春•金昌期中）的绝对值是 A． B．9 C． D．【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．【解答】解：根据绝对值的性质，得．故选：．（2023春•章贡区期中）的绝对值是 A． B． C． D．2023【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．【解答】解：，故选：．（2023春•沙坪坝区校级期中）若一个数的绝对值是，则这个数是 A． B． C．或 D．或【分析】根据绝对值等于一个正数的数有两个解决此问题．【解答】解：一个数的绝对值是，则这个数是，故选：．题型07：绝对值化简（2022秋•和平区校级期中）当，，且，则的值为 A． B．或 C．2 D．【分析】先根据绝对值的性质，判断出、的大致取值，然后根据，进一步确定、的值，再代入求解即可．【解答】解：，，，，，．，当，时，；当，时，；故的值为或．故选：．（2022秋•双流区期中）若，则的取值范围是 A． B． C． D．【分析】根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可．【解答】解：，，．故选：．（2023春•松江区期中）如果，化简： ．【分析】根据去绝对值法则去掉绝对值．然后合并同类项化简即可．【解答】解：，，，，，，原式，故答案为1．（2022秋•红安县期中）有理数，，在数轴上表示的点如图所示，化简 ．【分析】根据图形判断、、的符号，以及绝对值中三个式子的符号，再去绝对值化简．【解答】解：根据数轴可知，，且，故，，，，，，原式．故答案为：．题型08：绝对值的非负性（2023春•南召县期中）若与的值互为相反数，则的值为 A．11 B．3 C．10 D．【分析】直接利用非负数的性质得出，，，进而利用整体思想得出答案．【解答】解：与的值互为相反数，，，，，，①②得：，故．故选：．（2022秋•南山区校级期中）若有理数，满足，则的值为 A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据绝对值的非负性，求出，，再代入计算即可．【解答】解：由题意得，，，解得：，，则，故选：．（2022秋•南开区期中）若，则 ．【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再由有理数的乘法法则解答即可．【解答】解：，，，解得，，．故答案为：．（2022秋•大石桥市期中）已知与互为相反数，则 ．【分析】根据非负数的性质得出，的值，再代入计算即可．【解答】解：与互为相反数，，，，，，故答案为：．题型09：有理数比较大小（2022秋•龙口市期中）在，，3，0这四个数中，最小的数是 A． B． C．3 D．0【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．【解答】解：，最小的数是．故选：．（2023春•襄