冲刺2024年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.（2022•新高考Ⅱ）已知集合，1，2，，，则 A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】，解得：，集合，．故选：．2.（2023全国乙卷数学（文））（    ）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【详解】由题意可得，则.故选：C.3.（2023•乙卷）已知是偶函数，则 A． B． C．1 D．2【答案】【解析】的定义域为，又为偶函数，，，，，．故选：．4.（2023新课标全国Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．5.（2023全国甲卷数学（文））曲线在点处的切线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C6.（2023新高考天津卷）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B．C． D．【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D7.（2023新课标全国Ⅰ卷）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以；法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以8.（2023全国甲卷数学（文）（理））已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，  考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2020新课标全国Ⅰ卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD10．（2020新课标全国Ⅰ卷）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（    ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,不妨令,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.11．（2022新课标全国Ⅱ卷）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）A．直线的斜率为 B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知向量，满足，，则______．【答案】【解析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.13.（2023全国甲卷数学（理））在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．【答案】12【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，  由题意可知，为球心，在正方体中，，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.14.（2021•新高考Ⅰ）函数的最小值为．【答案】1．【解析】法一、函数的定义域为．当时，，此时函数在，上为减函数，当时，，则，当，时，，单调递减，当时，，单调递增，在上是连续函数，当时，单调递减，当时，单调递增．当时取得最小值为（1）．故答案为：1．法二、令，，分别作出两函数的图象如图：由图可知，（1），则数的最小值为1．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15.（本小题满分15分）（新题型）设函数，(1)若，求在处的切线方程；(2)若是的极大值，求a的取值范围．【解】（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程．（2）由题意，从而，①当时，，所以，从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意；②当时，，所以或，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而是的极大值点，满足题意；③当时，，所以在上单调递增，不合题意；④当时，，所以或，，从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意；综上所述，实数a的取值范围是．16.（本小题满分15分）（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】证明：取中点，连接，，为的中点．，且，四边形是平行四边形，故，平面；平面，平面，是中点，是的点，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；侧面为正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若选①：；又，平面，又平面，，又，，，，两两垂直，若选②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，又，2，，设直线与平面所成角为，，．直线与平面所成角的正弦值为．17．（本小题满分15分）（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆的方程为，右焦点为，，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：，，三点共线的充要条件是．【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率，又，所以，则，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当时，设直线的方程为，此时圆心到直线的距离，则，联立方程组，可得，则△，因为，所以，，因为直线与曲线相切，所以，则，则直线的方程为恒过焦点，故，，三点共线，所以充分性得证．若，，三点共线时，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，解得，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；综上所述，，，三点共线的充要条件是．18．（本小题满分17分）（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．（Ⅰ）已知，，，，求；（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【解析】（Ⅰ）由题意，，，，，故；（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，所以，变形为，所以，即，即，令，若时，则的对称轴为，注意到，（1），若时，（1），当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，（Ⅲ）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．19.（本小题满分17分）（新题型）若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”.(1)求证：对任意“好数”一定为20的倍数；(2)若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.【解】（1）证明：设，且为整数，∴∵，且为整数，∴是正整数，∴一定是20的倍数；（2）∵，且为正整数，∴，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有，解得，∴，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为.