小题精练09万有引力与航天问题公式、知识点回顾（时间：5分钟）一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量二、天体质量、密度的计算使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算 利用运行天体r、TGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(4π2r3,GT2)只能得到中心天体的质量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝eq\f(gR2,G)密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)当r＝R时ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝eq\f(GMm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)物理量推导依据表达式最大值或最小值线速度Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))当r＝R时有最大值，v＝7.9km/s角速度Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))当r＝R时有最大值周期Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))当r＝R时有最小值，约85min向心加速度Geq\f(Mm,r2)＝manan＝eq\f(GM,r2)当r＝R时有最大值，最大值为g轨道平面圆周运动的圆心与中心天体中心重合共性：距地面越高，轨道半径大，运动越慢，周期越长——高轨低速（线速度、角速度加速度）长周期四、卫星变轨的基本原理当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。如图所示。(1)当卫星的速度增加时，Geq\f(Mm,r2)meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。【例题】（2023•浙江模拟）2022年11月底，中国空间站迎来全面建造完成关键一役。随着神舟十五号乘组3名航天员进入空间站，我国首次实现空间站6个型号舱段组合体结构和6名航天员在轨驻留的“6+6”太空会师。如图，有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，假设就是神舟十五号，卫星b处于离地约300km的轨道上正常运动，假设就是神舟十四号，c是地球同步卫星，d是某地球高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，地球表面重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）A．神舟十四号的向心加速度大于神舟十五号的向心加速度 B．同步卫星在相同时间内转过的弧长最长 C．四颗卫星中，神舟十五号离地心最近，所以它的角速度最大 D．地球高空探测卫星最高，故发射它的能量一定最大【解答】解：根据万有引力提供向心力可得GMmr2=ma=mv2r=mrω2，解得：a=GMr2，v=GMr，ω=GMr3A、a和c的角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，根据a＝rω2可知：a的向心加速度小于c的向心加速度；由于b的轨道半径小于c的轨道半径，根据a=GMr2可知b的向心加速度大于c的向心加速度，综上可知a的向心加速度小于b的向心加速度，故A正确；B、a和c的角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，根据v＝rω可知va＜vc；对于b、c、d，由于rb＜rc＜rd，根据v=GMr可知vb＞vc＞vd，综上可知b的线速度最大，其在相同时间内转过的弧长最长，故B错误；C、a和c的角速度相等，由于rb＜rc＜rd，根据ω=GMr3可知ωb＞ωc＞ωd，综上可知b的角速度最大，故C错误；D、d星的轨道半最大，发射卫星时需要克服万有引力做功，但各个卫星的质量大小未知，发射d星所需要的能量不一定最大，故D错误。故选：A。难度：★★★☆建议时间：30分钟正确率：/15（2023•金华模拟）2022年11月12日10时03分，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（ ）A． B． C． D．【解答】解：要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝mv2r则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方向有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力与喷气方向相反，故A正确，BCD错误。故选：A。（2024•南充模拟）2022年7月24日，中国空间站问天实验舱发射成功。中国空间站组建完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图，空间站绕地球运行轨道为圆轨道，伴随卫星绕地球运行轨道为接近圆的椭圆轨道，二者位于同一轨道平面内，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随卫星在P处时位于空间站正上方，P、Q两点与空间站轨道的高度差相等，仅考虑地球的引力作用，地球第一宇宙速度为7.9km/s，则（ ）A．当伴随卫星运行到P点时，速度比空间站的速度大 B．当伴随卫星运行到Q点时，加速度比空间站的加速度小 C．空间站的速度可能大于7.9km/s D．空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同【解答】解：A．构造一个过伴随卫星远地点的绕地圆轨道Ⅰ，设在其上运行的天体速度为v1。当伴随卫星位于P点时，做近心运动，速度小于v1。圆轨道Ⅰ的半径大于空间站的轨道半径，根据万有引力提供向心力，有GMmr2=mv2r，解得：v=GMr其中v1小于空间站的速度v，所以vP小于v，故A错误；B．万有引力提供加速度，由万有引力提供加速度GMmr2=ma，解得：a＝GMr2得当伴随卫星位于Q点时，空间站的加速度小于伴随卫星的加速度，故B错误；C．7.9km/s是地球的第一宇宙速度，根据A分析中速度与半径的关系，可知第一宇宙速度是最大的绕行速度，所以空间站的速度小于7.9km/s，故C错误；D．根据题意可知伴随卫星绕地球运行的椭圆轨道半长轴等于空间站绕地球运行的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同，故D正确。故选：D。（2024•吉林一模）2020年7月23日，我国的“天问一号”火星探测器，搭乘着长征五号遥四运载火箭，成功从地球飞向了火星.如图所示为“天问一号”发射过程的示意图，从地球上发射之后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，进入着陆准备轨道。已知“天问一号”火星探测器在轨道半径为r的环火星圆轨道上运动时，周期为T1，在半长轴为a的着陆准备轨道上运动时，周期为T2，则下列判断正确的是（ ）A．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r2T13=a2T23 B．火星的平均密度一定大于3πGT12 C．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备椭圆轨道上运动经过交汇点A时，前者加速度较小D．“天问一号”在环火星圆轨道上的机械能小于其在着陆准备轨道上的机械能【解答】解：A、由开普勒第三定律可知，“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r3T12=a3T22，故A错误；B、假设“天问一号”在火星表面附近做圆周运动时，周期为T3，则由万有引力公式可得，GMmr2=m4π2rT32，密度ρ=M4πr33，解得火星的平均密度可表示为ρ=3πGT32，由T=2πr3GM可知T3＜T1，故ρ＞3πGT12，故B正确；C、飞船在环火星圆轨道经过A点和着陆准备椭圆轨道经过A点时受到的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律可知加速度必定相等，故C错误；D、“天问一号”由环火星圆轨道变轨到着陆准备轨道，需要在远火点减速，故机械能减小，故D错误。故选：B。（2024•顺庆区校级一模）银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星（可视为质点）均做匀速圆周运动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是（ ）A．乙星运动的轨道半径保持不变 B．乙星运动的角速度保持不变 C．乙星运动的线速度大小保持不变 D．乙星运动的向心加速度大小保持不变【解答】解：A．设甲星的质量为m甲，轨道半径为r甲，乙星的质量为m乙，轨道半径为r乙，则满足m甲ω2r甲=m乙ω2r乙解得r乙r甲=m甲m乙由于乙星的质量变小，甲星的质量变大，且两星之间的距离不变，则乙星运动的轨道半径变大，甲星运动的轨道半径变小，故A错误；BCD．设两星之间的距离为L，两星角速度相同且均为ω，根据万有引力提供向心力，对甲星有Gm甲m乙L2=m甲ω2r甲对乙星有Gm甲m乙L2=m乙ω2r乙又因为r甲+r乙＝L联立解得ω=G(m甲+m乙)L3因为两星之间的距离在一定时间内保持不变，且两星球的总质量也不变，故两星的角速度ω不变；根据线速度与角速度的关系，结合向心加速度公式v＝ωr，a＝ω2r由于乙星运动的轨道半径变大，则乙星运动的线速度变大，乙星运动的向心加速度变大，故B正确，CD错误。故选：B。（2023•青羊区校级模拟）2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为T2，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量 B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2 C．恒星B的质量为4π2(RA+RB)3GT12 D