椭圆必会十大基本题型讲与练04以椭圆为情景的最值与范围问题典例分析类型一：利用函数思想求范围或最值1．如图，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围（）A．[-1，1] B． C． D．(-1，0)【答案】B【分析】看问题：求点G横坐标的取值范围（属于范围问题）想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想看条件：过椭圆的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，定措施：先求直线的垂直平分线的方程，再令，求出点G的横坐标（用表示），故从函数思想的角度考虑，后求函数的值域，即可得点横坐标的取值范围．【详解】设直线的方程为，代入，整理得．直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根．记，，，，中点，，则，，的垂直平分线的方程为．令，得．，，点横坐标的取值范围为．【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去（或，得到（或的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等．2．已知曲线，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C.记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.求的最小值.【答案】【分析】看问题：求的最小值.（属于最值问题）想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想看条件：直线与曲线交于A，D两点，记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.定措施：把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式可求，从而求出；利用直角梯形的面积公式可求，求出（用表示），故从函数思想的角度考虑，后求函数的值域，即可得的最小值.【详解】由，得，当直线过椭圆的左右顶点时，，因为直线与曲线有两个交点，所以，即，设，则，，所以，又原点到直线的距离为，所以，又因为，所以，因为，所以，所以的最小值为.3．已知点是椭圆上任一点，那点到直线：的距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆方程可设，利用点到直线距离公式表示出距离，由三角函数的性质可求出最值.【详解】由椭圆方程可设，则点到直线的距离，则当时，取得最小值为.4．椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则有，由在椭圆上可得，又即可求直线斜率的取值范围.【详解】由题意知：设，而，，∴，，则，而，∴，又，故.故选：A类型二：利用不等式思想求范围或最值1．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】看问题：求点P的横坐标的取值范围（属于范围问题）想方法：（1）不等式思想；（2）函数思想；（3）数形结合思想看条件：点P为椭圆上一动点，F1、F2为该椭圆的两焦点，∠F1PF2为钝角，由此可得或定措施：由已知得或，代入点的坐标可求得的不等式，故可用不等式思想求得求点P的横坐标的取值范围。【详解】设，由题意可得,因为是钝角，所以，所以，所以，所以，得，所以，故选：C2.如图，过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)b>0)的左顶点A且斜率为k（eq\f(1,3)范围。【详解】由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq\f(a2－c2,a)，于是k＝eq\f(a2－c2,aa＋c).又eq\f(1,3)解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．2．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.【答案】【分析】由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，从而可求出，由椭圆的定义知，，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程.【详解】由椭圆定义可知，且，则，因为，所以，所以，所以，故的方程为.3．椭圆的左焦点为F，直线x=t与椭圆相交于点M，N，当的周长最大时，的面积是___________.【答案】【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意可得到，并且当且仅当三点共线时等号成立，，由此可求出的长，进而可求的面积.【详解】设椭圆的右焦点为，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长，此时，所以此时的面积为.方法点拨一、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求最值或取值范围.(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．二、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：（1）几何法：特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；（2）代数法：常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．要理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量之间的内在联系．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边．在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．巩固练习1．若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)【答案】D【解析】由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，解得m≥1且m≠5.2．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11【答案】C【分析】两圆的圆心是椭圆的焦点，，的最大值与最小值是到圆心的距离加上半径、减去半径，结合椭圆定义可得．【详解】由题意椭圆的焦点分别是，恰好是已知两圆圆心，两圆半径都是1，，，，，，∴，．故选：C．3．已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径最短，可知当垂直于轴时，最短，把的最小值代入中，再由的最大值为12，列方程可求出m的值【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，由可知，，因为过的直线交椭圆于两点，所以，所以，所以当垂直于轴时，最短，此时最大，当时，，得，所以的最小值为，因为的最大值为12，所以，解得或（舍去），4．已知点是椭圆上异于顶点的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.【详解】如下图，延长、相交于点，连接，因为，则，因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，因为为的中点，所以，，设点，由已知可得，，，则且，且有，，故，所以，.故选：C.5．设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点，可得出，可得出，构造函数，问题转化为函数在区间上的最大值为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.【详解】设点，则，可得，，因为的最大值为，则关于的二次函数在上的最大值为.因为，则二次函数的图象开口向下.①当时，即当时，函数在上单调递减，则，合乎题意；②当时，即当时，函数，解得（舍去）.综上所述，.故选：A.6．已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（）A．9 B．3 C． D．【答案】D【分析】由题可得，求出，由椭圆定义可得，再由展开利用基本不等式求解即可.【详解】由题可得，椭圆焦点在轴上，且当为左右顶点时，取最大值为120°，则，又，则，，又为椭圆焦点，则，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故选：D.7．是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，设，则的最大值与最小值之和是（）A．16 B．9 C．7 D．25【答案】D【分析】设，根据标准方程求得，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论.【详解】因为椭圆方程为椭圆，所以.设，则,又.∴.故.所以的最大值与最小值的和为.故选：D.【点睛】解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.8．已知三个顶点都在曲线上，且（其中O为坐标原点），分别为的中点，若直线的斜率存在且分别为，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量线性运算可得，知关于原点对称，得到；根据在曲线上可得到，利用基本不等式可得，代入即可求得结果.【详解】由得：，即，关于原点对称，又分别为中点，，，，，设，，则，又，两式作差得：，即，（当且仅当时取等号），的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆内接三角形相关问题的求解，解题关键是能够根据平