深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数学（本试卷共3页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。）2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．已知集合，，，则（）A． B．C． D．2．，是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A． B．2 C． D．33．若是第三象限角，且，则的值为（）A． B．5 C． D．4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．5．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．7．已知关于x不等式的解集为，则（）A．B．点在第二象限C．的最大值为D．关于x的不等式的解集为8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（）A．2 B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（）．A．B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若，则是等边三角形10．已知复数，，下列说法正确的是（）A． B．若，则C． D．若，则为纯虚数11．若定义在上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．函数（且）恒过定点P，则点P的坐标为______．13．若曲线过坐标原点的切线与圆相切，则实数______．14．已知，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．设函数，．（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；（2）若，求的值．16．设是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）解关于x的不等式．17．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围．18．已知在中，满足（其中a，b，c分别是角A，B，C的对边）．（1）求角B的大小；（2）若角B的平分线长为1，且，求外接圆的面积；（3）若为锐角三角形，，求的取值范围．19．已知函数，且x轴是曲线的切线．（1）求的最小值；（2）证明：；（3）设，，证明：对任意，．深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试答案1-8ABADBCDC9-11ABDACDABC12-14【详解】8．由题意可知，则，即，又，所以，则．设，则，所以在上单调递增，所以，则，所以，则．设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以的最大值为．故选：C．11．因为，所以．又因为，所以．又，则，即，所以，故是周期为4的周期函数．因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确；因为，则，则，所以，所以为偶函数，选项A正确；因为，令，得，即，令，得，即，故，选项C正确；由，得所以，选项D错误．故选：ABC．14．法一：令，，则，，∴，∴，，则，当且仅当，即时等号成立，∴，即．法二：，所以，因此．15．（1），的对称轴，（2）【详解】（1），则的最小正周期，，，解得，，即的对称轴，．（2），解得．．16．（1）（2）【详解】（1）当时，，当时，，所以，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，当时，有，从而，所以．（2）由（1）知，当时，因为，，所以，当，，所以当时，，而当时，，所以不等式在上无解；当时，不等式为，所以．记函数，，因为，，所以函数，均为上的单调增函数，所以函数为R上的单调增函数．又，所以当时，不等式的解集为．从而关于x的不等式的解集为．17．（1）当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）【详解】（1）对求导，可得，令，即，即，当时，恒成立，在R上单调递增；当时，，，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）因为对于任意的，都有恒成立，对求导，可得，，即，即，①当时，，则在单调递增，，符合题意；②当时，，则，则，在单调递增，，符合题意；③当时，，则，当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，所以，令，，则，所以在上单调递减，所以，不合题意；综上所述，．18．（1）（2）（3）【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，又，即，且，即．（2）由等面积法：，即，即，由余弦定理得，，则，设外接圆半径为R，则，，则外接圆的面积为．（3）由为锐角三角形可得，得，则，由，得，又，所以，则．19．（1）的最小值为（2）（3）证明如下【详解】（1）由得，因切线方程为，令，得，故可知切点为，所以，得，故，，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，故的最小值为．（2）由（1）可知，故，故，，，则，即，即，故，即，即证．（3）由题意，由得①，要证明对任意，，只需要，，令，，，令，，在区间上单调递增，故，故，故在上递增，故只需证明，，由①可知，由（1）可知，故，只需证明，化简为成立即可，令，则，在区间上单调递增，故，所以得证．