北京市朝阳区2024~2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2024.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得答案.【详解】因为集合，集合，所以.故选：A2.若函数在处取得最小值，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】因为，所以用基本不等式求得最小值，并找到最小值点为，得出结果.【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴最小值点，即.故选；C3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可逐一判断.【详解】对于A，函数为指数函数，不具备奇偶性，故A错误；对于B，函数的定义域为，由于为偶函数，故B错误；对于C，函数，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故C错误；对于D，函数的定义域为，由，故函数为奇函数，因为，所以函数在单调递增，故D正确.故选：D.4.如图，在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的线性关系即可得到结果.【详解】∵，，∴，，∴，故AB选项错误；∴，故C选项正确，D选项错误.故选：C5.已知单位向量，满足，设向量，则向量与向量夹角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先算出，，再利用向量夹角公式即可得到答案【详解】解：，，所以，故选：C.6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）A.1天 B.2天 C.3天 D.4天【答案】B【解析】【分析】设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比．利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出．【详解】设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比．则，解得．数列的通项公式为，，当时，则，当时，则，故超过1尺的天数共有2天.故选：B．7.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合三角函数的单调性、平方关系，并根据充分、必要条件的知识判断即可.【详解】由题意，若，因为均为第二象限角，所以，所以，即，所以，且均为第二象限角，所以，所以，即充分性成立.若，因为均为第二象限角，所以，即，所以，即，因为均为第二象限角，所以，所以，故必要性成立,所以“”是“”的充要条件.故选：C.8.已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解.【详解】当时，函数，则，令，解得，故直线与相切，即.当时，函数，则，令，解得，故直线与相切，即.如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点.故实数的取值范围为或.故选：B.9.在三棱锥中，棱，，两两垂直，点在底面内，已知点到，，所在直线的距离分别为1，2，2，则线段的长为（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由棱，，两两垂直建立空间直角坐标系，设点坐标，分别表示出到三条轴的距离，然后得出OP的值.【详解】如图，棱，，两两垂直，可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，由题意可得：，∴，∴，故选：A10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（）A.99 B. C. D.96【答案】B【解析】【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解.【详解】设，则，即，所以,若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以,即，因为，且满足，所以包含了的个元素外，还包含个属于而不属于的元素，当时，则,如，符合题意.当时，则,如，符合题意.所以的最大值为，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数__________．【答案】;【解析】【详解】，故答案为12.在中，已知，则__________；________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根据同角三角函数关系，结合诱导公式即可求解.【详解】因为，，又，故；.故答案为：；.13.已知数列的前n项和为（A，B为常数），写出一个有序数对________，使得数列是递增数列.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据数列的前n项和与数列通项的关系根据相减法即可得的通项，再根据数列的单调性可得的范围，从而可得有序数对的取值.【详解】数列的前n项和为,当时，，所以，即，当时，符合上式，综上，，若数列递增数列，则，即，故符合的有序数对可以为.故答案为：（答案不唯一）.14.某种灭活疫苗的有效保存时间（单位：）与储藏的温度（单位：℃）满足函数关系（为常数，其中）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h，在5℃时的有效保存时间是360h，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.【答案】90【解析】【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，通过待定系数法即可求得结果.【详解】由题意，，解得，当时，，故该疫苗在时的有效保存时间是小时.故答案为：.15.对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质.给出下列四个结论：①存在公差不为的等差数列具有性质；②以为首项，为公比的等比数列具有性质；③若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质；④若数列和均具有性质，则数列也具有性质.其中所有正确结论序号是________.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，可使用反证法证明①错误；对于②，取，并验证an具有性质即可；对于③和④，结合已知条件取适当的常数，并验证相应的数列具有性质即可.【详解】对于①，假设存在公差为的等差数列an具有性质，则存在常数，使得对任意，都有不等式成立.则对任意的，都有，但这对大于的正整数显然不成立，矛盾，故①错误；对于②，设an是以为首项，为公比的等比数列，则，.所以正实数满足对任意的，都有.故②正确；对于③，若由数列an的前项和构成的数列具有性质，则存在常数，使得对任意的，都有不等式成立.从而正实数满足对任意的，都有.故③正确；对于④，若数列an和bn均具有性质，存在常数，使得对任意的，都有不等式成立；也存在常数，使得对任意的，都有不等式成立.从而正实数满足对任意的，都有.故④正确.故答案为：②③④【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解性质的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求的值；（2）若，，求b及的面积.【答案】（1）2（2），【解析】【分析】（1）结合正弦定理边化角化简已知等式，再根据三角形中角度关系与正弦函数取值即可得结论；（2）结合余弦定理求得关系，从而可得大小，再根据面积公式求解即可得答案.【小问1详解】因为，有正弦定理得，所以，由，得，又因为，所以，所以，由正弦定理可得；【小问2详解】因为，，所以由余弦定理得，又由（1）可知，，所以，整理得，即，所以，所以，所以面积为.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，.（1）求证：平面PAD；（2）求平面与平面PCD的夹角的余弦值；（3）记平面与平面PCD的交线为l.试判断直线AB与l的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3），理由见解析【解析】【分析】（1）由线面垂直可得，由根据线线平行与线线垂直可得，根据线面垂直的判定定理即可得证所求；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面PAB与平面PCD的法向量，再根据面面夹角余弦公式求解即可得答案；（3）根据线面平行判定定理得平面PCD，再根据线面平行的性质定理即可得结论.【小问1详解】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，所以，又因为平面PAD，所以平面PAD.【小问2详解】由（1）可知，，，，如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，则，，，，则，，设平面PAB的一个法向量为，由得所以，令，则，又因为平面PCD，所以是平面PCD的一个法向量.设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，则.【小问3详解】直线.理由如下：因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，又因为平面PAB，平面平面，所以.18.已知函数.（1）若，求的最小值；（2）若存在极小值，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，得，求导并利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最值；（2）先求导数，分类讨论和时函数的单调性，并根据函数有极小值求解的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为，当时，，时，，在区间上单调递减，时，，在区间上单调递增.所以当时，取得最小值.【小问2详解】函数的导函数为.（1）当时，，在区间上单调递减，所以无极值.（2）当时，令，得.当变化时，与的变化情况如下表：x-0+↘极小值↗由上表知，当时，取得极小值综上，的取值范围为.19.设函数.（1）若，，求的值；（2）已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.条件①：当时，取到最小值；条件②：；条件③：在区间上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）代入参数值得到函数关系，求函数值；（2）先由三角恒等变换化简三角函数，选择条件①由函数图像的性质得到两条对称轴即可求出周期，从而解出的值，代入函数值求得的值；选择条件③由函数图像的性质得到两条对称轴即可求出周期，从而解出的值，代入函数值求得的值；选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②.【小问1详解】由，，得.则；【小问2详解】，，.选择条件①：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又当时，取到最小值，所以，故.因为，所以.所以，.又因为，所以，得.又因为，所以.选择条件③：因为在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，又在区间上单调递减，所以，故.因为，所以.所以，.又因为，所以，得.又因为，所以.选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②.20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数；（3）若，其中，求证：.【答案】（1）（2）1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化简转化可得所求；（2）分当和两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零点个数，从而得结论；（3）设，求导确定函数的单调性与取值情况，从而可得结论.【小问1详解】由，得且，所以，所以曲线在处的切线方程为：，即.【小问2详解】①当时，，，所以.所以在区间上无零点；②当时，，，所以，所以在区间上单调递增，又，，所以在区间上仅有一个零点，综上，在区间上的零点个数为1.【小问3详解】设，即，所以，设，，因为时，，，所以，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递增.故，所以.因为，所以，又，所以.21.若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.