南充高中高2023级第三学期第二次月考数学参考答案一．选择题题号1234567891011答案BCDDCBADBCDACABD二．填空题312.24π13.14.4748．（解法1）设Pccos,bsin,cos1,0，因为A1c,0,A2a,0，所以A1Pccosc,bsin,A2Pccosa,bsin.22222222A1PA2Pccoscccosabsinccosaccosccosacbbcos222222222baccbcosccacosbaccbcosbaccos10，所以cos.b2c2b2ac因为cos1,0，所以10.b2c2c2aca20e2e10512因为222，所以，即，解得e,bac222.3cac2a03ee2023（解法2）设Px0,y0,x0c,0，因为A1c,0,A2a,0，所以PA1cx0,y0,PA2ax0,y0，22222222bx0cb22所以PA1PA2x0cax0acy0.因为yb，所以PAPAxcaxbac.0c212c200222222因为存在PA1.PA20，所以cbx0ccax0bacc0在x0c,0上有解.因为222222222，且，cbx0ccax0bacccbx0baccx0cx0c,02222bacc所以cbx0bacc0在x0c,0上有解，即x在x0c,0上有解.0b2c2a2acc201ee20512因为222，所以，即解得e,bac222.3cac2a03ee20232x4y2424．对于选项，设，则，即2，11A255x4yx5x5��,�4222222162xyxy即xy8x16x8x25，化简得1，故曲线C的方程为1，A对；25259259对于B选项，由题意可知，曲线C为椭圆，且a5，b3，ca2b24，设椭圆另一个焦点为F，如图，由O为FF和AB中点可知四边形AFBF为平行四边形，所以AFBF，所以AFBFAFAF2a10，B对；答案第1页，共4页对于C选项，设点Mx0,y0、，则Bx1,y1，��1,�1222x0y02x0因为点M在曲线C上，则1，可得y091，25925x2x22102x1229191同理y191，所以yyyyyy25259，C错；10101025k1k22222x1x0x1x0x1x0x1x025PF4对D，由定义知动点到定点F与它到定直线l距离d满足，d5525所以POPFPOd，其中d为点P到直线l:x的距离，即求椭圆上一4425点P到O与到直线l:x距离和的最大值，如图所示：显然当P在椭圆左顶点时，42565PO和d同时取得最大值，所以，POd55，D对.max4414．如图，设，由题知动点P的轨迹是过OD的终点D且垂直OD的平面，��=3��动点Q的轨迹是以线段AB为直径的球M，PQ的最小值就是球心M到平面的距离d减去球M的半径R.1OAOB3OCOCDMOC2，.d4OCOC211，故答案为：RABOBOA7PQmin47.47.22三．解答题222815．解：（1）设事件A=“甲前三局都获胜”，事件B=“乙前三局都获胜”，则P(A)，333271111811PB，比赛只需打三局的概率为：PP(AB)P(A)P(B).……5分33327272732122（2）甲需要打三局的概率为：P，甲需要打四局的概率为：P，甲需要打五局的概率为：132339112222226P，则甲最终获胜的概率为：PPPP.……13分3333271233927272216．解：（1）由C：x3y44，则圆心C3,4，半径r2，当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为x5，符合题意；……2分3k45k1当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为y1kx5，即kxy5k10，所以2，解得k21555k，此时切线l的方程为xy510，即5x12y370.……5分121212综上所述，切线l的方程为x5或5x12y370.……7分答案第2页，共4页（2）设Gx,y，Aa,b，因为P5,1，Q1,2，G为三角形APQ的重心，a51x3a3x4所以，即，……11分b12b3y1y32222由A为圆C上的动点，得a3b44，则3x433y144……13分22724724整理得xy1，即动点G的轨迹方程为xy1．……15分393917．（1）证明：在△PAD中，PAPD,O为AD中点，所以POAD．因为侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD，所以PO平面ABCD．……6分（2）解：连接OC，由（1）知PO平面ABCD，且OC平面ABCD，1所以POOC．因为BC∥AD,BCADOA，所以四边形ABCO为平行四边2形．又因为ABAD，所以OCAD．以O为坐标原点，以OC,OD,OP为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则O0,0,0,P0,0,1,A0,1,0,B1,1,0，，�0,1,0所以BD1,2,0，PA0,1,1，PB1,1,1．设平面PAB的一个法向量为nx1,y1,z1,nPA0y1z10则，即，令z1，得x0,y1，平面PAB的一个法向量n0,1,1……12分111nPB0x1y1z10BDn210设直线BD与平面PAB的夹角为，则sincosBD,n．……15分BDn525218．解：（1）由题意，函数fx在1,2上单调递减，在区间2,2上单调递增，且f113，122f2222，f223，所以函数fx的最小值为22，最大值为3.……4分2222（2）由题意，关于x的不等式mxm1x13的解集为R，即不等式mxm1x20对于xR恒成m0立，当m0时，不等式为x20，即x2不恒成立，不符合题意；当m0时，有2，解Δm18m0得322m322.综上所述，实数m的取值范围为322,322.……8分2（3）解：对于函数fxx，x1,2，由（1）知，fx3.xmax由题意，对于x14,6，都有成立g�1≤3+1=4答案第3页，共4页即对恒成立.……10分2又当��−(�−时1)�+1≤4，故�∈4,6对恒成立.23−�2�∈4,6�−�>0�−��∈4,6令,�≤3−��1226�=3−�∈−3,−1�−�=�−5�+6=�+�−5令，，则……12分16minℎ�=�+�−5�∈−3,−1�≤ℎ�当时，，当且仅当时取等号66�∈−3,−1�−�所以�+=−−�+≤−26……15分�=−61minℎ�=ℎ−6=−26−5=26−5综上所述，实数m的取值范围为,265.……17分（注：用二次函数对称轴讨论最值的方式酌情给分）19．解：（1）因为F2MN的周长为MF2NF2MNMF2NF2MF1NF1222MF2MF1NF2NF14a8，所以a2，又因为2c23，所以c3，所以bac1，x2所以椭圆C的标准方程为y21.……5分4（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2)，设PQ中点为A，x2y21联立4，消去y整理得，(4k21)x216kx120，……7分ykx22233所以256k48(4k1)0，即4k230，所以k或k，2216k12又由韦达定理可得，x1x2,x1x2，……9分4k214k21x1x28k28k2所以xA,yAkxA2，所以A,，24k214k214k214k21因为DPDQ，所以DAPQ，……12分33由k或k，可知，直线DA,PQ的斜率均存在，且都不等于零，22224k123535所以kDAkPQ1，即k1，整理得4k6k10，解得k,k，8k121444k213335又因为k或k，所以k满足题意，222435所以存在k.……17分4答案第4页，共4页