2024-2025江苏省名校协作体12月高一联考数学试题（本卷满分150分考试时间120分钟）一､单选题（8*5=40分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出不等式，根据交集含义即可.【详解】，,则.故选：B.2.命题“，使得”的否定是（）A.，均有 B.，均有C.，有 D.，有【答案】B【解析】【分析】依据命题否定的书写即可【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“，均有”，故选：B3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以或，解得或，所以不等式的解集为或；因为，所以，解得或，所以不等式的解集为或；因为或是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由的值，利用排除法判断即可.【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；又，故排除C.故选：A5.声强级，是指声强x（单位：W/m²）和定值α（单位：W/m²）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）．已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为（）A.135dB B.140dB C.145dB D.150dB【答案】A【解析】【分析】根据人与人交谈时的声强级约为45dB可得，这种火箭发射的声强约，代入题目中公式结合对数运算处理．【详解】设人与人交谈时的声强约为W/m²，则火箭发射时的声强约为W/m²，则故选：A．6.已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立，设则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对称性可得，再根据单调性即可求解.【详解】因为当时，恒成立，所以在上单调递减，又的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即.故选：A7.定义运算“”：，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得函数为，再分段求值域即可.【详解】由，可得，所以，当时，，当时，在上单调递增，所以，当时，在上单调递减，所以，所以的值域为.故选：A.8.已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（）A.或 B.或C. D.或【答案】B【解析】【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解．【详解】因为是定义在上的函数，的图象关于点对称，所以为奇函数，，因为，即，所以，构造函数，则有，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，变形，则有，即，所以，解得：或，故选：B．二､多选题（3*6=18分）9.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域是，则函数的定义域为B.对应，其中，，，则对应是函数C.对于定义在上的函数，若，则不是偶函数D.函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数【答案】AC【解析】【分析】根据复合函数的性质即可根据求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解D.【详解】对于A，根据题意可得，解得，所以的定义域为，故A正确，对于B,对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误，对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确，对于D,函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误，故选：AC10.若正数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.【详解】对于A，，所以，化简得，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，根据基本不等式，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，因为，所以，所以，又因为，，所以，，，，，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，，同理，，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选ABD.11.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）A.B.C.在上的最大值是10D.不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.【详解】因为，则有，令，则，则，故A正确；令，则，令代，则，即，即，故B错误；设且，则，由，令，则，即，令，，则，即，因为时，，又，故，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；由，即，即，即，又因为，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD.三､填空题（3*5=15分）12.已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________.【答案】【解析】【分析】利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得.【详解】函数是偶函数，则，即，整理得，而不恒为0，因此，，函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为.故答案为：13.已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________.【答案】或【解析】【分析】根据分段函数作出图象，结合图象性质分析即可得结论.【详解】因，作出函数的图象，如图所示：由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，且，，又因为关于的方程恰有两个不同的实数根，结合图象可得或.故答案为：或.14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据开口方向的不同分为三种情况讨论，运用基本不等式对集合进行分析.【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意；当时，，则不等式解为或，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意；当时，，则不等式的解为，而，则集合至少含有共个元素.综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得.故答案为：四､解答题（共5小题满分77分）15.计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.【小问1详解】结合题意可得：;【小问2详解】结合题意可得：.16.已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为.（1）求此二次函数的解析式；（2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围；（3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得.（2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围.（3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可.【小问1详解】由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根，因此，所以函数的图象开口向上，其对称轴为，而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为，于是，解得，所以此二次函数的表达式为，即.【小问2详解】由（1）知不等式为，整理得，即，依题意，不等式解集中恰有一个正整数，则，当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去；当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数，则，所以实数的取值范围是.【小问3详解】对，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，令，，则，解得，即实数的取值范围为.17.某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．【答案】（1）（2）当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元（3）【解析】【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围.【小问1详解】当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.根据利润=销售收入-总成本，可.当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.则.所以.【小问2详解】当时，，图象开口向下，对称轴为.但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.当时，根据基本不等式，有.所以亿元，当且仅当，即取等号.因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.【小问3详解】当时，，即，解得.结合，知道此时满足题意.当时，，即，即，令，对称轴，当时，单调递减，且时,.则当，恒成立，即恒成立.综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.18.已知定义在上的函数在0,+∞上是增函数.为偶函数，且当时，.（1）当时，求在上的解析式；（2）是否存在实数，使函数与的值域相同，若存在，求出所有实数的值，若不存在，说明理由；（3）令，讨论关于的方程的实数根的个数.【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用为偶函数即可求解析式；（2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知即可求的值；（3）分类讨论确定零点情况即可.【小问1详解】当时，时，，当时，则，而为偶函数，有，所以．【小问2详解】∵函数在0,+∞上单调递增，∴，且的值域为，当时，，且为偶函数，∴的值域为，由题意知：．令，易知在上单调递增，且；∴．【小问3详解】由（2）有，令，①当时，，此时仅有一个零点．②当时，，此时仅有一个零点．③当时，在中，故无零点；在中单调递增，而，，∴故此时，使，即仅有一个有，．④当时，在中，零点有，故有两个零点；在中单调递增，而，即无零点；综上所述，当时，方程有两个实数根；当时，方程仅一个实数根．【点睛】关键点点睛：将方程的实数根转化为的零点问题.19.若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值；（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）不是，详见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）取，根据“阶自伴函数”的定义判断；（2）根据函数为区间上的“1阶自伴函数”，得到，从而化简得到，则，再根据“1阶伴随函数”的定义得到，从而有，然后利用基本不等式求解；（3）由是在区间上的“2阶伴随函数”，得到，且在区间上的值域必定包含区间，的值域所对应的自变量唯一求解.【小问1详解】解：，，当时，，则，所以，则，即，但，故不是区间上的“阶自伴函数”；【小问2详解】函数为区间上的“1阶自伴函数”，则，，所以，则，因为任意的，总存在唯一的，使成立，所以，则，即，又，所以，所以，，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.【小问3详解】因为是在区间上的“2阶伴随函数”，所以，则在区间上的值域必定包含区间，且的值域所对应的自变量唯一，当时，在上递增，则，解得；当时，在上递减，则，解得；当0