郑州外国语学校2022-2023学年上期高三第四次调研考试试卷数学（理科）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥﹣1}2．已知复数z满足zi＝3i+4，其中i为虚数单位，则푧在复平面内对应点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列各命题的否定为真命题的是（）1A．∀푥∈푅,푥2−푥+≥0B．∃x∈R，2x＞x241휋C．∃푥∈푅+,()푥>log푥D．∀푥∈[0,],sin푥＜푥3224．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）3232A．16π+32B．8π+32C．8휋+D．16휋+335．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P是C上一点，且|PF|＝5，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p＝（）A．2B．2或4C．4D．4或66．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S3＝3a2+8a1，S8＝2S7+2，则a2＝（）A．4B．3C．2D．17．将曲线（x+y）（x﹣2y+1）+1＝0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x轴水平向右，y轴竖直向上），得到的图像最有可能为（）第1页（共4页）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣m2+2n+1的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，4）D．（1，4）x9．已知函数f（x）＝ae+4x，对任意的实数푥1,푥2∈(−∞,+∞)，且x1≠x2，不等式푓(푥1)−푓(푥2)>푥1+푥2恒成立，则实数a的取值范围是（）푥1−푥22222A．[，+∞)B．[+∞)C．(，+∞)D．(+∞)푒푒3푒푒310．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形ABCD中，AB＝BD＝2√3，将△ABD沿BD进行翻折，使得AC＝2√6．按张衡的结论，三棱锥A﹣BCD外接球的表面积约为（）A．72B．24√10C．28√10D．32√1011．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且对任意x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值集合为（）A．{a|0＜a＜1}B．{a|1＜a＜2}C．{a|﹣1＜a＜1}D．{1}12．已知函数f（x）＝sin（cosx）+cos（sinx），则下列结论正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的最大值为2C．∀x∈R，f（x﹣π）＝f（x）D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.）．2|푥|2．13∫−2(푒+√4−푥)푑푥=14．已知甲袋内有大小相同的2个红球和2个白球，乙袋内有大小相同的1个红球和2个白球．现从甲、乙两个袋内各任取2个球，则恰好有2个红球的概率第2页（共4页）为．1115．已知函数f（x）＝（sinωx）2+sin2휔푥−(휔＞0，휔∈푅)，若f（x）在区间（π，222π）内没有零点，则ω的取值范围是．푥2푦216．过双曲线Γ：−=1(푎＞0，푏＞0)的左焦点퐹的动直线l与Γ的左支交于A，푎2푏21B两点，设Γ的右焦点为퐹2.若存在直线l，使得AF2⊥BF2，则Γ的离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinBcosB+bsinBcosC=3√b．2（1）求A；푆（2）若角A为钝角，△ABC的面积为S，求的最大值．푎2218．已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且a1＝1，an+1=−푆+1，푏=3푛푛2log1푎푛+3．3（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；1（2）若cn＝an+，设数列{cn}的前n项和为Rn，证明：Rn＜3．푇푛19．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（1）求证：EF∥平面CPM；휋（2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求线段QN6的长．第3页（共4页）20．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：笔试成绩X[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数51025302010由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的中点值代替）．（1）若σ≈12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85的人数（结果四舍五入精确到个位）；（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为[80，90）和[90，100]的考生中随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人，记成绩不低于90分的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．√221．已知离心率为的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F1，F2为左右焦2→→点，M为椭圆上的点，且|푀퐹1|+|푀퐹2|=2√2．直线l过椭圆外一点P（m，0）（m＜0），与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，满足y2＞y1＞0．（1）求椭圆C的标准方程；→→（2）对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得퐹1퐴//퐹2퐵成立，若存在，求出点P（m，0）对应的直线l的斜率；否则说明理由．22．已知函数푓(푥)=푎푥2−푏푥+ln푥在点(1,푓(1))处的切线方程为2푥−2푦−3=0．（1）求实数a，b的值；3（2）设函数푔(푥)=푓(푥)−푚푥(푚≥)的两个极值点为x1，x2且푥<푥，若푔(푥)−2121푔(푥2)≥휆恒成立，求满足条件的λ的最大值．第4页（共4页）