【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的子集个数为（    ）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】A【分析】首先根据指数不等式求解集合，然后再根据集合交集的运算定义求解，根据的元素个数即可求出其子集个数.【详解】由题可知，所以，其子集个数为.故选：A．2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.【详解】因为，所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．故选：C3．已知向量，，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将，看是否成立；根据向量共线的坐标表示，得出m的值，即可得出结论.【详解】若，则，所以；若，则，解得，得不出.所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（    ）A．1 B．2 C．81 D．80【答案】C【分析】由题知，，进而根据等差数列通项公式解得，再求和即可.【详解】因为，所以，解得.又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，则，即，整理得.因为，所以.所以.故选:C.5．已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化即可得到答案.【详解】故选:A6．某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（    ）A．288 B．336 C．576 D．1680【答案】B【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种,第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种，根据分步计数原理,共有种,故选：B7．设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设为的中点，连接.易知，所以，所以.因为为的中点，所以.设，因为，所以.因为，所以.所以.因为是的中点，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因为直线的斜率为，所以，所以，，所以离心率为.故选：A【点睛】求双曲线离心率的方法有：（1）直接法：利用已知条件将求出，从而求得离心率；（2）方程法：利用已知条件列出关于或的方程，化简求得离心率.8．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（    ）A．数据20，21，7，31，14，16的50%分位数为16B．若随机变量服从正态分布，则C．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好D．以拟合一组数据，经代换后的线性回归方程为，则【答案】BD【分析】对于A，先排序再求百分位数；对于B，根据正态分布的性质求解即可；对于C，根据决定系数的概念判断即可；对于D，求出变换后的回归方程，再根据对应系数相等求解即可．【详解】对于A：将数据按照从小到大的顺序排列得到：7，14，16，20，21，31，因为6×50%＝3，所以50%分位数为，故A错误；对于B：随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，则，故B正确；对于C：线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好，故C错误；对于D：对两边取对数得到：，令得到，因为经代换后的线性回归方程为，所以，故D正确．故选：BD．10．已知函数，则下列命题正确的有（    ）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点中心对称C．的表达式可改写为D．若，则【答案】BD【分析】AB选项，代入检验即可，C选项，可利用诱导公式推导；D选项，求出函数的零点，从而求出两零点的差值.【详解】当时，，，所以直线不是函数的对称轴，A错误；当时，，所以，所以是函数的对称中心，B正确；，C错误；令，解得：，，即，，所以两个零点的距离：，D正确.故选：BD.11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（    ）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【分析】在选项A中，推导出，，从而直线平面；在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由△的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；在选项C中，异面直线与所成角转化为直线与直线的夹角，可求取值范围；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A，正方体中，，，且，平面，平面，平面，，同理，，，且，平面，直线平面，A选项正确；对于选项B，正方体中，平面，平面，平面，点在线段上运动，到平面的距离为定值，又△的面积是定值，三棱锥的体积为定值，B选项正确；对于选项C，，异面直线与所成角为直线与直线的夹角．易知△为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为．故异面直线与所成角的取值范围是，C选项错误；对于选项D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，点竖坐标为，，则，，，，所以，．由选项A正确：可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D选项正确．故选：ABD．12．已知函数，的定义域均为R，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（    ）A．函数的一个周期为6B．函数的一个周期为8C．若，则D．若当时，，则当时，【答案】BCD【分析】A选项：为奇函数，得到，结合因为为偶函数，得到，故的最小正周期为12，A不正确B选项：关于直线对称，得到，又是奇函数，所以，故，得到的一个周期为8，所以B正确；C选项：由A选项得，赋值后得到，由为R上的奇函数，得到，结合，得，结合和的最小正周期得到，所以C正确；D选项：根据的最小正周期和得到，从而求出时的函数解析式．【详解】A选项：因为为奇函数，所以，令，得，则．因为为偶函数，所以，令，得，所以，所以，故，所以函数的周期为12，所以A不正确；B选项：因为的图象关于直线对称，所以，所以．又是奇函数，所以，所以，所以函数的周期为8，所以B正确；C选项：由A选项得，得，令，则，所以．因为为R上的奇函数，所以，则由，得，所以，所以C正确．D选项：因为当时，，所以当时，，所以．所以当时，，所以D正确．故选：BCD.【点睛】设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数为偶函数，则______．【答案】1【分析】利用偶函数定义列出关于的方程，解之即可求得实数的值【详解】函数为偶函数，则有，即恒成立则恒成立即恒成立则，经检验符合题意.故答案为：114．若的展开式中的系数为9，则a的值为______．【答案】1【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.【详解】解：，且展开式的通项，当时，，此时的系数为.当时，，此时的系数为.展开式中的系数为，．故答案为：115．已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．【答案】【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得，利用分组求和法可求得，然后解不等式即可.【详解】因为，所以，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，所以，因此不等式，即，即，因为，故满足不等式的最小整数为．故答案为：.16．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【详解】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.(1)证明数列为等比数列；(2)求满足不等式的正整数的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由已知可得，化简得（），则有，两式相减化简可证得结论，（2）由（1）将不等式化为，然后分为奇数和偶数两种情况求解即可.（1）因为，，（）总是成等差数列，所以（），整理得（），所以，所以，所以，所以，因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，（2）由（1）可得，因为，所以，所以，当为奇数时，，得，解得，当为偶数时，，得，解得，此时无解综上得正整数n的最小值为3.18．（12分）已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.(1)求村庄之间的距离；(2)求农贸市场到村庄的距离之和.【答案】(1)千米(2)