五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编8-解三角形（含解析）一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）A．346 B．373 C．446 D．4732．（2020·山东·统考高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（    ）A．3 B． C．3或 D．-3或3．（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）A． B． C． D．4．（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（    ）A． B．2 C．4 D．85．（2018·全国·高考真题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．6．（2019·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．37．（2018·全国·高考真题）在中，,BC=1,AC=5，则AB=A． B． C． D．8．（2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ二、多选题9．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．三、填空题10．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．11．（2022·全国·统考高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．12．（2021·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．13．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．14．（2020·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.15．（2019·全国·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.16．（2018·全国·高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．17．（2019·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.18．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．四、解答题19．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．21．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．22．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：23．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．24．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．25．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．26．（2021·天津·统考高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．27．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．28．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；29．（2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.30．（2020·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．31．（2020·北京·统考高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．32．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．33．（2020·海南·高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．34．（2020·江苏·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．35．（2020·全国·统考高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.36．（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.37．（2020·全国·统考高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．38．（2019·全国·统考高考真题）的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．39．（2019·全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．40．（2018·全国·高考真题）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.41．（2019·北京·高考真题）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．42．（2018·天津·高考真题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.43．（2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．44．（2018·北京·高考真题）在中，．（1）求；（2）求边上的高．五、双空题45．（2021·浙江·统考高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.46．（2019·浙江·高考真题）在中，，，，点在线段上，若，则____；________.47．（2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.48．（2018·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．参考答案：1．B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故选：B．【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．2．A【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【详解】，，，，，，，，故选：A.3．A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，，，根据余弦定理：可得，即由故.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．C【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【详解】设故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5．C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．6．A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8．B【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S的最大值为+S△POB+S△POA=4β+.故选B.【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.10．.【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.11．##【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为