突破七、电磁感应中的杆模型与框模型单杆＋导轨模型单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。【分类训练】类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题1．如图所示，固定在绝缘斜面上的两个光滑金属导轨平行放置，两导轨上端接有一定值电阻R，两导轨处在方向垂直斜面向下的匀强磁场中。一个导体棒与绝缘弹簧上端相连，弹簧下端固定，弹簧沿斜面方向且不和斜面接触，导体棒放在两导轨上，两导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，导体棒静止不动、且导体棒和弹簧垂直。现在作用在导体棒上一个沿斜面向上的拉力F，使导体棒沿两导轨向上运动一段距离，设导体棒始终与两导轨垂直并保持良好接触。导体棒在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）A．拉力F做的功等于导体棒的动能增量B．拉力F做的功等于导体棒的机械能增量C．拉力F做的功等于导体棒机械能增量、电阻R上产生的电热二者之和D．拉力F做的功等于导体棒机械能增量、电阻R上产生的电热、弹簧弹性势能增量三者之和【答案】D【详解】A．根据动能定理，合外力做的总功等于导体棒动能的增量，拉力F不是合力，A错误；BCD．导体棒运动过程中克服安培力做功，即电阻R上产生的电热，则拉力F做的功等于导体棒机械能增量、电阻R上产生的电热、弹簧弹性势能增量三者之和，BC错误，D正确。故选D。【总结归纳】题型一(v0≠0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0)说明质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L 示意图力学观点杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq\f(BLv,R)，安培力F＝BIL＝eq\f(B2L2v,R)。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止开始时a＝eq\f(F,m)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(FR,B2L2)开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsinα－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(mgRsinα,B2L2)开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq\f(mgR,B2L2)图像观点能量观点动能全部转化为内能：Q＝eq\f(1,2)mv02F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WF＝Q＋eq\f(1,2)mvm2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq\f(1,2)mvm2重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq\f(1,2)mvm2类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型2．如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时（ ）A．电容器两端的电压为零 B．电阻两端的电压为BLvC．电容器所带电荷量为CBLv D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为【答案】C【详解】AB．导线MN以速度v向右做匀速运动时，导线MN所受的合力为零，可知导线MN所受的安培力为零，电路中电流为零，电阻两端电压为零，电容器两端的电压为故AB错误；C．电容器所带电荷量为故C正确；D．导线MN以速度v向右做匀速运动时，导线MN所受的合力为零，导线MN中无电流，导线MN所受的安培力为零，故为保持MN匀速运动，不需要施加拉力，故D错误。故选C。【总结归纳】题型一(v0＝0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0)题型四(v0＝0)说明轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L示意图力学观点S闭合，杆cd受安培力F＝eq\f(BLE,r)，a＝eq\f(BLE,mr)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝eq\f(E,BL)开始时a＝eq\f(F,m)，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq\f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝eq\f(F,m＋B2L2C)，所以杆做匀加速运动开始时a＝gsinα，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq\f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsinα－F安＝ma，a＝eq\f(mgsinα,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq\f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝eq\f(mg,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动图像观点能量观点电源输出的电能转化为动能：W电＝eq\f(1,2)mvm2F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝eq\f(1,2)mv2＋EC重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq\f(1,2)mv2＋EC重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq\f(1,2)mv2＋EC双杆＋导轨模型中的四类问题双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，过程复杂，难度较大。【例题】如图所示，足够长的金属导轨竖直放置，金属棒ab、cd均通过棒两端的环套在金属导轨上；虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，虚线下方有竖直向下的匀强磁场。ab、cd棒与导轨间动摩擦因数均为μ，两棒总电阻为R，导轨电阻不计。开始两棒均静止在图示位置，当cd棒无初速释放时，对ab棒施加竖直向上的力F，沿导轨向上做匀加速运动。则（ ）A．ab棒中的电流方向由b到aB．cd棒先加速运动后匀速运动C．cd棒所受摩擦力的最大值等于cd棒的重力D．力F做的功等于两金属棒产生的电热与增加的机械能之和【答案】A【详解】A．向上运动的过程中，穿过闭合回路的磁通量增大，根据楞次定律可得中的感应电流方向为，故A正确；BC．棒中感应电流由c到d，其所在的区域有向下的磁场，所受的安培力向里，棒所受的摩擦力向上，棒做加速直线运动，速度增大，产生的感应电流增加，棒所受的安培力增大，对导轨的压力增大，则滑动摩擦力增大，摩擦力先小于重力，后大于重力，所以棒先加速运动后减速运动，最后停止运动，故BC错误；D．根据功能关系，力F所做的功应等于两棒产生的电热，摩擦生热与增加的机械能之和，故D错误。故选A。【例题】如图所示，PQ和MN是固定于水平面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻忽略不计。质量均为m的金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，它们与轨道形成闭合回路。整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。使金属棒cd得到初速度的同时，金属棒ab由静止开始运动，考虑两金属棒之后的运动过程（经过足够长时间，不考虑空气阻力），以下说法正确的是（ ）A．ab棒受到的冲量大小为，方向向左B．cd棒受到的冲量大小为，方向向左C．金属棒ab、cd组成的系统动量变化量为D．整个回路产生的热量为【答案】B【详解】C．金属棒ab、cd组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒，即以后得运动过程中系统动量变化为零，选项C错误；AB．两棒最终共速，设向右为正向，由动量守恒定律，则对ab棒由动量定理解得方向向左；对cd棒由动量定理解得方向向右；选项B正确，C错误；D．由能量关系，整个回路产生的热量为选项D错误。故选B。线框模型线框模型研究的是线框穿越匀强磁场时发生的电磁感应过程。高考试题通过此模型对电磁感应过程中的电路、动力学、功能关系进行考查，在求解此类问题时，要注意分析清楚线框进入磁场和离开磁场时的运动情况和受力情况。【例题】如图所示，倾角的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面上间距的两平行虚线和之间有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度。现有一质量，总电阻，边长也为的正方形金属线圈有一半面积位于磁场中，现让线圈由静止开始沿斜面下滑，下滑过程中线圈MN边始终与虚线保持平行，线圈的下边MN穿出时开始做匀速直线运动。已知，，线圈与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取，下列说法错误的是（ ）A．线圈进入磁场和从磁场出去的过程中产生的感应电流方向相反B．线圈做匀速直线运动时的速度大小为C．线圈速度为时的加速度为D．线圈从开始运动到通过整个磁场的过程中产生的焦耳热为3J【答案】D【详解】A．由楞次定律，线圈进入磁场的过程中产生的感应电流方向为MQPNM，线圈从磁场出去的过程中产生的感应电流方向为MNPQM，A正确；B．线圈做匀速直线运动时，由平衡条件，则沿斜面有其中两式联立得B正确；C．线圈速度为时，沿斜面由牛顿第二定律解得C正确；D．线圈从开始运动到通过整个磁场的过程中能量守恒，则有代入数据解得D错误。本题选择错误的，故选D。【分类训练】类型1 线框穿越磁场过程的图像问题 1．如图所示，一个有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，一个矩形闭合导线框abcd，沿纸面由位置甲匀速运动到位置乙，则（ ）A．导线框进入磁场时，受到的安培力方向水平向左B．导线框离开磁场时，受到的安培力方向水平向右C．导线框离开磁场时，感应电流方向为adcbaD．导线框进入磁场时，感应电流方向为abcda【答案】A【详解】AD．导线框进入磁场时，根据右手定则可判断感应电流方向为adcba，再根据左手定则可判断受到的安培力方向水平向左，故A正确，D错误；BC．导线框离开磁场时，根据右手定则可判断感应电流方向为abcda，再根据左手定则可判断受到的安培力方向水平向左，故BC错误。故选A。类型2 线框穿越磁场过程的动力学及能量问题 2．光滑水平面上有一个电阻为、边长为的正方形单匝金属线框，以的速度匀速穿过匀强磁场，如图所示，磁场方向垂直水平面向上，磁感应强度大小为，磁场的宽度超过线框的边长．（1）线框进出磁场都需要施加一水平向右的作用力，求的大小；（2）线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热。【答案】（1）1N；（2）1J【详解】（1）根据题意可知，线框匀速穿过磁场，受力平衡，则有又有，代入数据可得（2）根据题意，由能量守恒定律有代入数据可得一、单选题1．如图所示，边长为h的矩形线框从初始位置由静止开始下落，进入一水平向里的匀强磁场，且磁场方向与线框平面垂