专题04导数及其应用易错点一：忽略切点所在位置及求导简化形式（导数的概念及应用）一、导数的概念和几何性质1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．二、导数的运算1．求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3．复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：应用1．在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．应用2．过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．易错提醒：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．例．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若，都有，求的取值范围．变式1．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个不等的实根，求实数的取值范围.变式2．已知函数.(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.变式3．．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若对，恒成立．求实数的取值范围．1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（    ）A． B． C． D．2．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（    ）A． B．C． D．3．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（    ）A． B．1 C． D．4．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（    ）A． B． C． D．5．已知函数，则（    ）A．函数在处的切线方程为 B．函数有两个零点C．函数的极大值点在区间内 D．函数在上单调递减6．已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（    ）A． B． C． D．7．已知函数，则（    ）A．的图象关于原点中心对称B．在区间上的最小值为C．过点有且仅有1条直线与曲线相切D．若过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是8．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线；(2)讨论的单调性；(3)当时，若对任意实数，恒成立，求的取值范围.9．已知函数，且，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设，，，讨论函数的零点个数．10．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.11．已知，函数，．(1)当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；(2)若与有相同的最小值，求实数a．易错点二：转化为恒成立后参变分离变号的前提条件（利用导数研究函数的单调性）1．求可导函数单调区间的一般步骤第一步：确定函数的定义域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；第三步：把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；第四步：确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.注意①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.技巧：1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路第一步：由函数在区间上单调递增(减)可知()在区间上恒成立列出不等式；第二步：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；第三步：对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值．易错提醒：一：研究单调性问题1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．2．已知函数的单调性问题=1\*GB3\*MERGEFORMAT①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间。例．已知函数为函数的导函数．(1)若，讨论在上的单调性；(2)若函数，且在内有唯一的极大值，求实数的取值范围．变式1．已知函数．(1)若，判断函数的单调性．(2)若有两个不同的极值点（），求证：．变式2．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若，求的取值范围．变式3．设函数.(1)求的单调区间；(2)若正数，满足，证明：.1．若方程在上有实根，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．已知函数，则不等式成立的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．4．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．5．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（    ）A． B． C． D．6．已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（    ）A．B．（为自然对数的底数，）C．存在，D．若，则7．设，若，，，下列说法正确的是（   ）A． B．无极值点 C．的对称中心是 D．8．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．当时，C．若是增函数，则D．若和的零点总数大于2，则这些零点之和大于59．已知函数且．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的最大值．10．已知函数．(1)讨论函数的单调性．(2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围．11．已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若存在极小值点，且，求的取值范围．易错点三：误判最值与极值所在位置（利用导数研究函数的极值与最值）1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤第一步：先确定函数的定义域；第二步：求导数；第三步：求方程的根；第四步：检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：第一步：求在内的极值（极大值或极小值）；第二步：将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．技巧：1．由图象判断函数的极值，要抓住两点：（1）由的图象与x轴的交点，可得函数的可能极值点；（2）由导函数的图象可以看出的值的正负，从而可得函数的单调性．两者结合可得极值点．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．3．求函数在闭区间内的最值的思路（1）若所给的闭区间不含有参数，则只需对函数求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．结论：1、若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；2、若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．3、若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：