专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a,b)上可导,(1)如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在(a,b)内单调递增;(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在(a,b)内单调递减;(2)如果f′(x)=0,那么函数y=f(x)在(a,b)内是常数函数.注意:1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.考点一 不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f′(x)的零点;第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.【例题选讲】[例1](1)定义在[-2,2]上的函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示,设O为坐标原点,A,B,C,D四点的横坐标依次为-eq\f(1,2),-eq\f(1,6),1,eq\f(4,3),则函数y=eq\f(f(x),ex)的单调递减区间是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,6),\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-\f(1,6))) D.(1,2)(2)已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可以是( )(3)函数f(x)=x2+xsinx的图象大致为( )(4)函数f(x)=x+2eq\r(1-x)的单调递增区间是________;单调递减区间是________.(5)设函数f(x)=x(ex-1)-eq\f(1,2)x2,则f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.(6)函数y=eq\f(1,2)x2-lnx的单调递减区间为( )A.(-1,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)(7)设函数f(x)=2(x2-x)lnx-x2+2x,则函数f(x)的单调递减区间为( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)) C.(1,+∞) D.(0,+∞)(8)已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cosx,则f(x)的单调递增区间为.(9)函数f(x)=2|sinx|+cos2x在[-eq\f(π,2),eq\f(π,2)]上的单调递增区间为( )A.[-eq\f(π,2),-eq\f(π,6)]和[0,eq\f(π,6)] B.[-eq\f(π,6),0]和[eq\f(π,6),eq\f(π,2)] C.[-eq\f(π,2),-eq\f(π,6)]和[eq\f(π,6),eq\f(π,2)] D.[-eq\f(π,6),eq\f(π,6)](10)下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )A.f(x)=sin2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+lnx[例2] 已知函数f(x)=eq\f(lnx+k,ex)(k为常数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值;(2)求函数f(x)的单调区间.【对点训练】1.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是( )A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(1,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上f(x)单调递增2.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ) 3.(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是( ) 4.函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息:①f′(x)>0时,-1
专题04 函数的单调性(原卷版)
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