专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四 构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝eq\f(f(x),g(x))类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，则F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，则F′(x)＝f′(x)±g′(x)；(3)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(4)若F(x)＝eq\f(f(x),g(x))，则F′(x)＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)．由此得到结论：(1)出现f′(x)＋naxn－1形式，构造函数F(x)＝f(x)＋axn＋b；(2)出现f′(x)±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)；(3)出现f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；(4)出现f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝eq\f(f(x),g(x))．【例题选讲】[例1](1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)<3，则f(x)>3x＋6的解集为( )A．{x|－1－1} C．{x|x<－1} D．R(2)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对∀x∈R，f′(x)＜eq\f(1,2)，则不等式f(log2x)＞eq\f(log2x＋1,2)的解集为________．(3)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且2f′(x)>1，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))时，不等式f(2cosx)>eq\f(3,2)－2sin2eq\f(x,2)的解集为( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f′(x)＞2x．若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)(5)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)<3x－eq\f(3,2)的解集是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))(6)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f(x)＋f′(x)·xlnx<0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为________．(7)(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x＋1)f′(x)－f(x)＜x2＋2x对任意x∈(0，＋∞)恒成立．下列结论正确的是( )A．2f(2)－3f(1)＞5 B．若f(1)＝2，x＞1，则f(x)＞x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)C．f(3)－2f(1)＜7 D．若f(1)＝2，0＜x＜1，则f(x)＞x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)(8)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上，f′(x)0，则函数F(x)＝xf(x)＋eq\f(1,x)的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3(10)函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝eq\f(ex,x)，f(2)＝eq\f(e2,8)，当x>0时，f(x)的极值状态是___________．【对点训练】1．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<eq\f(1,2)，则不等式f(x2)<eq\f(x2,2)＋eq\f(1,2)的解集为．3．已知定义域为R的函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f′(x)<2x，f(2)＝3，则不等式f(x)>x2－1的解集是( )A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)4．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝4，则不等式f(x)＞eq\f(1,x)＋3的解集为________．5．设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cosx<0，则不等式f(x)0C．当且仅当x∈(－∞，1)，f(x)<0 D．当且仅当x∈(1，＋∞)，f(x)>010．已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)＋eq\f(f(x),x)＞0，若g(x)＝f(x)＋eq\f(1,x)，则函数g(x)的零点个数为( )A．1 B．2 C．0 D．0或2考点五 构造具体函数关系式【方法总结】这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．ax2＋lnx1 B．x1＋lnx2 D．<(4)已知函数f(x)＝eq\f(ex,x)－ax，x∈(0，＋∞)，当x2＞x1时，不等式eq\f(f(x1),x2)－eq\f(f(x2),x1)<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，e] B．(－∞，e) C．(－∞，eq\f(e,2)) D．(－∞，eq\f(e,2)](5)(多选)若实数a≥2，则下列不等式中一定成立的是( )A．(a＋1)a＋2>(a＋2)a＋1 B．loga(a＋1)>loga＋1(a＋2)C．loga(a＋1)<eq\f(a＋1,a) D．loga＋1(a＋2)<eq\f(a＋2,a＋1)(6)(2021·全国乙)设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝eq\r(1.04)－1，则( )A．a0，则“a>b”是“aa>bb”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知0eq\f(lnx2,x1) B．eq\f(lnx1,x2)<eq\f(lnx2,x1) C．x2lnx1>x1lnx2 D．x2lnx1b>0，ab＝ba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在a，b满足a·be2，则正确结论的序号是( )A．(1)(3) B．(2)(3) C．(1)(4) D．(2)(4)5．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z6．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则( )A．c