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极值点偏移问题(学生版)
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极值点偏移问题【典型例题】例1.已知函数f(x)=lnx-ax,a是常数且a∈R.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(-1,0),求a的值;1(2)若02e.例2.已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0相切,求实数a的值;11(2)若函数y=f(x)有两个零点x1,x2,证明+>2.lnx1lnx2ee例3.已知函数f(x)=x-(a-lnx)且f(e)=(其中e为自然对数的底数).24(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)=k有两个不相等实根x1,x2,证明:x1+x2>2e.例4.已知函数f(x)=e2x-a(x-1).(1)讨论函数f(x)的单调性;x+x(2)若a>0,设f′(x)为f(x)的导函数,若函数f(x)有两个不同的零点x,x,求证:f′12<1220.1232例5.已知函数f(x)=x-(a+1)x+2(a-1)lnx,g(x)=-x+x+(4-2a)lnx.22(1)若a>1,讨论函数f(x)的单调性;f(x1)-f(x2)(2)是否存在实数a,对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有+a>0恒成立,若存在,求出x1-x2a的范围,若不存在,请说明理由;(3)记h(x)=f(x)+g(x),如果x1,x2是函数h(x)的两个零点,且x10.3例6.设函数f(x)=x2-alnx,g(x)=(a-2)x.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2.(ⅰ)求满足条件的最小正整数a的值;x+x(ⅱ)求证:F′12>0.2例7.设函数f(x)=x2-alnx-(a-2)x.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;x+x(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x,x(1)求满足条件的最小正整数a的值;(2)求证:f12>0.122x12例8.已知函数f(x)=e-ax(a∈R),其中e为自然对数的底数,e=2.71828⋯.f(x0)是函数f(x)的2极大值或极小值,则称x0为函数f(x)的极值点,极大值点与极小值点统称为极值点.(1)函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)判断函数f(x)的极值点的个数,并说明理由;(3)当函数f(x)有两个不相等的极值点x1和x2时,证明:x1x22e.(取e为2.8,取ln2为0.7,取2为1.4)【同步练习】1.已知函数f(x)=lnx+2x-ax2,a∈R.(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(Ⅱ)设g(x)=f(x)+(a-4)x,试讨论函数g(x)的单调性;1(Ⅲ)当a=-2时,若存在正实数x,x满足f(x)+f(x)+3xx=x+x,求证:x+x>.121212121222.已知函数f(x)=lnx+x-ax2,a∈R.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)设g(x)=f(x)+(a-3)x,试讨论函数g(x)的单调性;1(3)当a=-2时,若存在正实数x,x满足f(x)+f(x)+3xx=0,求证:x+x>.1212121223.已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;11(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<+1时,f(x)>g(x);(Ⅲ)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2>2.6.已知函数f(x)=x-ea+x(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)若f(x)有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1+x2>2.7.已知函数f(x)=axex-(a-1)(x+1)2(其中a∈R,e为自然对数的底数,e=2.718128⋯).(1)若f(x)仅有一个极值点,求a的取值范围;1(2)证明:当00时,求证:f(lna+x)>f(lna-x);x+x(Ⅲ)已知f(x)有两个零点x,x(x.1212e

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