江西省临川一中2022—2023学年上学期期末考试理科数学答案和解析【答案】123456789101112BBABDDCDDＢＣC13.123 14.−1243 15.９π． 16.a≤e24或a=e3917.解：(I)设{an+1−an}的公比为q，∵an+2=3an+1−2an，an+2−an+1=2(an+1−an)又a2−a1=1，∴an+1−an=2n−1，∴an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=1+1+2+⋯+2n−2=1+1−2n−11−2=2n−1，即{an}的通项公式为an=2n−1．..........6分(Ⅱ)bn=n∙an=∙n∙2n−1=n∙2n−1{bn}的前n项和为1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1记Sn=1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋯+n⋅2n−1，则2Sn=1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，作差可得−Sn＝20+21+22+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n，∴Sn=(n−1)2n+1，因此，数列bn的前n项和为(n−1)2n+1..........12分18.解：(1)因为G为线段AC的中点，且BG=12AC，所以AB⊥BC，因为AB=8，BC=6，所以AC=10，因为A1B1//AB，B1C1//BC，所以A1B1⊥B1C1，因为直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1C1，因为AA1∩A1B1=A1，AA1，A1B1⊂平面A1ABB1，所以B1C1⊥平面A1ABB1，..........3分因为VF−A1AE=VE−A1AF=13SΔA1AF⋅(12B1C1)=16×(12S矩形A1ABB1)⋅B1C1=112AA1⋅AB⋅BC=16VABC−A1B1C1=40，解得AA1=10，而S△A1AE=12×10×82+32=573，设点F到平面A1AE的距离为ℎ，由VF−A1AE=13S△A1AE⋅ℎ，得ℎ=247373，即点F到平面A1AE的距离为ℎ=247373；..........6分(2)由(1)知：A1A=10，以点B为坐标原点，直线BC，BA，BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(8,0,0)，C(0,6,0)，A1(8,0,10)，B1(0,0,10)，F(0,0,5)，BA1=(8,0,10)，AC=(−8,6,0)，AA1=(0,0,10)，设BP=λBA1(0≤λ≤1)，P(x0,y0,z0)，由(x0,y0,z0)=λ(8,0,10)，得P(8λ,0,10λ)，所以FP=(8λ,0,10λ−5)，设平面A1ACC1的一个法向量n=(x,y,z)，则n⋅AC=0n⋅AA1=0，即6y−8x=0z=0，取x=3，得n=(3,4,0)，..........9分设直线FP与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ=|n⋅FP||n||FP|=24λ564λ2+(10λ−5)2=24λ5164λ2−100λ+25=245164−100λ+25λ2=24525(1λ−2)2+64当λ=12，即P为BA1的中点时，sinθ取得最大值35．..........12分19.(1)P=1−C62C102=1−1545=23，即该顾客中奖的概率为23．............5分(2)X的所有可能值为：0，10，20，50，60．............6分且P(X=0)=C62C102=13，............7分P(X=10)=C31C61C102=25，............8分P(X=20)=C32C102=115，............9分P(X=50)=C11C61C102=215，............10分P(X=60)=C11C31C102=115．............11分故X的概率分布列为：X0205060P13115215115......................................................12分解：(1)取抛物线焦点为F(p2,0)，AF=x1+p2，BF=x2+p2，AF+BF=x1+x2+p=6+p因为AF+BF≥AB，AB最大值为10，所以6+p=10，p=4，抛物线方程为y2=8x........4分（2）令A(x1,y1),B(x2,y2),设M为AB中点，M(x0,y0),又因为x1+x2=6,所以x0=3，M(3,y0),........5分.kAB=y2−y1x2−x1=8y1+y2=4y0，所以AB中垂线方程为：y−y0=−y04(x−3),令y=0C(7,0)........6分所以AB方程为：y−y0=4y0(x−3),将AB方程与抛物线方程联立y−y0=4y0(x−3)y2=8xy2−2y0y+2y02−24=0,显然，∆=4y02−42y02−24>0−26