机密启用前 姓名准考证号2023年普通高等学校招生全国统一考试数学风向卷（二）注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{x|x≤m}，N＝x|y=1x2−3x−4.若M∪N＝R，则实数m的取值范围是( )A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，4]【答案】B 【详解】本题考查函数的定义域、根据集合的并集运算求参数的范围．N＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，则由M∪N＝R，得m≥4，故选B．【一题多解】若m＝－1，则0∉M，又0∉N，所以M∪N≠R，故排除A，C，D，故选B．2．设i为虚数单位，复数z0在复平面内对应的点为Z0(1，2)，且z0·z＝3＋i，则|z|＝( )A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B 【详解】本题考查复数的运算及几何意义、复数模的运算．由题意知z0＝1＋2i，所以z＝3+iz0＝3+i1+2i＝3+i1−2i1+2i1−2i＝5−5i5＝1－i，所以|z|＝12+−12＝2，故选B．【一题多解】由题意知|z0|＝5，所以由z0·z＝3＋i，得|z0|·|z|＝|3＋i|，即5|z|＝10，即|z|＝2，故选B．3．已知a2+2an的展开式中最后三项的二项式系数之和为16，则展开式中a4的系数为( )A．20B．40C．60D．80【答案】B 【考点】二项式定理及其应用【详解】由二项式系数的性质可知，最后三项的二项式系数之和与前三项二项式系数之和相等，即Cn0＋Cn1＋Cn2＝16，即1＋n＋nn−12＝16，整理得n2＋n－30＝0，解得n＝5或n＝－6(舍去)．二项展开式的通项Tr＋1＝C5r(a2)5－r2ar＝C5r2ra10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以a4的系数为C5222＝40，故选B．4．某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x，y之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：xi2023252730yi22.4334.6由表格中的数据可以得到y与x的经验回归方程为y＝14x＋a，据此计算，下列选项中残差的绝对值最小的样本数据是( )A．(30，4.6)B．(27，3)C．(25，3)D．(23，2.4)【答案】C 【考点】回归分析【详解】由题表中的数据可知，x＝15×(20＋23＋25＋27＋30)＝25，y＝15×(2＋2.4＋3＋3＋4.6)＝3，点(25，3)在经验回归直线y＝14x＋a上，故a＝－134，则y＝14x－134.当x＝30时，y＝4.25，残差的绝对值为0.35；当x＝27时，y＝3.5，残差的绝对值为0.5；当x＝25时，y＝3，残差的绝对值为0；当x＝23时，y＝2.5，残差的绝对值为0.1.故选C．5．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a2为a1，a3＋1的等比中项，则数列{an}的前10项和为( )A．88B．108C．130D．154【答案】C 【考点】数列的基本概念与等差数列的求和公式【详解】依题意可知，a22＝a1·(a3＋1)，即(a1＋2)2＝a1·(a1＋4＋1)，解得a1＝4，则其前10项和S10＝10×4＋10×92×2＝130.故选C．【一题多解】依题意，a22＝(a2－2)·(a2＋3)，解得a2＝6，a9＝a2＋7d＝6＋14＝20，则其前10项和S10＝10a1+a102＝10a2+a92＝130.6．已知α∈(0，π)，且3cos2α＋11＝16cosα，则sin2α＝( )A．－459B．259C．－259D．459【答案】D 【详解】本题考查三角恒等变换．由3cos2α＋11＝16cosα，得3(2cos2α－1)－16cosα＋11＝0，即3cos2α－8cosα＋4＝0，解得cosα＝2(舍去)或cosα＝23.∵α∈(0，π)，∴sinα＝1−cos2α＝1−232＝53，故sin2α＝2sinαcosα＝459.故选D．7．已知平面向量a，b，c满足|b|＝|c|＝b·c＝2，且(b－a)⊥(a－3b)，则|a－c|的最大值为( )A．－3＋4B．3＋4C．23－2D．23＋2【答案】D 【考点】平面向量的数量积以及模的运算【详解】因为|b|＝|c|＝b·c＝2，所以cos〈b·c〉＝b·c|b||c|＝12，所以向量b，c的夹角为π3.不妨设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以O为坐标原点，OC→为x轴正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(2，0)，B(1，3)或B(1，－3)，设A(x，y)，当B点坐标为(1，3)时，因为(b－a)⊥(a－3b)，所以(b－a)·(a－3b)＝0，即(1－x，3－y)·(x－3，y－33)＝0，即(x－2)2＋(y－23)2＝4，所以A点轨迹是以(2，23)为圆心，半径为2的圆，所以|a－c|的最大值为2−22+23−02＋2＝23＋2，同理，当B点坐标为(1，－3)时，|a－c|的最大值为23＋2.故选D．8．已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，D为线段AB的中点，且F1D⊥l，4|F2B|＝|AB|，则双曲线C的离心率为( )A．72B．3C．142D．2【答案】C【分析】连接AF1，BF1F1D⊥lD为线段AB的中点――→|AF1|＝|BF1|根据双曲线定义――→|BF1|＝t＋2a，|AF1|＝5t－2a→|F1D|＝5a→5a2＋9a2＝4c2→e＝142【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系【详解】依题意，不妨设4|F2B|＝|AB|＝4t(t>0)，连接AF1，BF1(图略)，因为D为线段AB的中点，且F1D⊥l，所以|AF1|＝|BF1|.由双曲线定义可得|BF1|＝t＋2a，|AF1|＝5t－2a，所以t＋2a＝5t－2a，解得t＝a.在Rt△F1DB中，|F1D|＝|BF1|2−|DB|2＝5a，在Rt△F1DF2中，|F1D|2＋|DF2|2＝|F1F2|2，即5a2＋9a2＝4c2，所以离心率e＝142，故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列不等式成立的是( )A．log2(sin1)>2sin1B．1π2<π12C．7－5<6－2 D．log431，∴log2(sin1)<2sin1，故A错误；对于B，∵1π2<1π0＝1，π12>π0＝1，∴1π2<π12，故B正确；对于C，∵7－5＝27+5，6－2＝26+2，且7＋5>6＋2，∴7－5<6－2，故C正确；对于D，∵log34＝log33＋log343＝1＋log343，log56＝log55＋log565＝1＋log565，又log343>log365＝log565log53>log565，∴log34>log56，则1log34<1log56，∴log430)的最小正周期，且T∈(2，3)，函数在x＝3π2处取得最大值3，则( )A．b＝3B．f(x)的最小正周期为4π5C．f(x)在0,π5上单调递减D．将函数f(x)的图像向左平移π10个单位长度，再向下平移2个单位长度后与函数y＝－sin52x的图像重合【答案】BCD 【考点】三角函数的图像及其性质【详解】对于A选项，依题意，因为函数在x＝3π2处取得最大值3，所以b＝2，所以A选项不正确；对于B选项，由3π2ω＋π4＝2kπ，k∈Z，得ω＝4k3－16，k∈Z，又T∈(2，3)，所以ω∈2π3,π，所以ω＝52，所以f(x)＝cos(52x＋π4)＋2，函数f(x)的最小正周期为2π52＝4π5，所以B选项正确；对于C选项，当x∈0,π5时，52x＋π4∈π4,3π4，函数f(x)单调递减，所以C选项正确；对于D选项，将f(x)的图像向左平移π10个单位长度得y＝cos[52(x＋π10)＋π4]＋2＝cos52x+π2＋2＝－sin52x＋2的图像，再向下平移2个单位长度后得y＝－sin52x的图像，所以D选项正确．11．已知圆C：x2＋y2－2xcosθ－2ysinθ－3＝0，θ∈R，则( )A．圆C与圆x2＋y2＝1相内切B．直线xcosα＋ysinα－3＝0(α∈R)与圆C相离C．圆C上到直线x＋y＝0的距离等于2的点只有两个D．过直线x＋y＝42上任一点M作圆C的切线，切点分别为E，F，则四边形MECF面积的最小值为25【答案】ACD 【考点】直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系【详解】对于A选项，依题意，圆C的标准方程为(x－cosθ)2＋(y－sinθ)2＝4，θ∈R，圆心C(cosθ，sinθ)，半径为2，而圆心C的轨迹为单位圆x2＋y2＝1，所以圆C与圆x2＋y2＝1相内切，所以A选项正确；对于B选项，圆心C(cosθ，sinθ)到直线xcosα＋ysinα－3＝0(α∈R)的距离d＝|cosθcosα+sinθsinα−3|cos2α+sin2α＝|cos(θ－α)－3|∈[2，4](提示：通过圆心到直线的距离及圆的半径判断直线与圆的位置关系)，当d＝2时，直线与圆C相切，所以B选项不正确；对于C选项，圆心C(cosθ，sinθ)到直线x＋y＝0的距离d′＝|cosθ+sinθ|2＝|sinθ+π4|∈[0，1]，则圆C上到直线x＋y＝0的距离等于2的点只有两个，所以C选项正确；对于D选项，四边形MECF的面积S＝2S△MEC＝2×12×|EC|×|ME|＝2|ME|，又|ME|＝|MC|2−|CE|2＝|MC|2−4，|MC|＝|cosθ+sinθ−42|2＝2sinθ+π4−422＝|sin(θ＋π4)－4|∈[3，5]，所以|MC|min＝3，所以四边形MECF的面积的最小值为2|ME|＝232−4＝25，所以D选项正确．12．已知球O的表面积为36π，正四棱锥S－ABCD的顶点均在球O的表面上，设AB＝a，则( )A．当a＝32时，正四棱锥S－ABCD的侧面积为183B．当a＝32时，正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成角的正切值为22C．当a∈[2，32]时，正四棱锥S－ABCD的体积的最小值为2－423D．当a∈[2，32]时，正四棱锥S－ABCD的体积的最大值为18【答案】AC【分析】球O的表面积为36π→球O的半径R＝3→设正四棱锥S－ABCD的高为h→对于A选项和B选项，可以直接求得其侧面积以及侧面与底面所成角的正切值；对于C选项和D选项，对球心的位置进行分类讨论，再根据体积的函数表达式，通过导数求得最值 【考点】正四棱锥及其外接球【详解】设球O的半径为R，则4πR2＝36π，解得R＝3，设正四棱锥S－ABCD的高为h.对于A选项和B选项，AB＝a＝32，所以BD＝6，即为球O的直径，此时球心O即为正方形ABCD的中心，此时侧棱长SA＝32，即正四棱锥侧面是边长为32的正三角形，所以正四棱锥S－ABCD的侧面积为4×34×(32)2＝183.取AB的中点E，连接SE，OE，SO(图略)，易知∠SEO即为正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成角的平面角，tan∠SEO＝SOOE＝3322＝2，所以A选项正确，B选项不正确．对于C选项和D选项，当正四棱锥S－AB