绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷B本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，集合，定义，则中元素的个数是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，则，共个元素，故选A。2．函数（）的图像大致可以为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】易得为奇函数，图像关于原点对称，故排除A，C，，显然存在，使得当时，，时，，即在上先增后减，排除D，故选B。3．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数点后面第七位，“割圆术”是用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，圆的内接正多边形边数越多误差越小。利用“割圆术”求圆周率，当圆的内接正多边形的边数为时，圆周率的近似值可表示为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】设圆的半径为，正多边形的圆心角为，边长为，∴，即，故选A。4．已知函数（）的导函数为，若使得成立的，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，，∴，又∵，∴可得，即，∴，故选D。5．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】设，则，则，则的值域为，即的值域为，由对于一切恒成立可得：，即，即实数的取值范围为，故选D。6．已知不等式成立，则的最小值是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，即，又当时，，，当时，，令，∵在上单调递增，，∴，即，故选B。7．已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，根据题意可知在内有个变号零点，当时，显然不合题意，当时，方程等价于，令，则，令，∵，解得，可得在单调递减，在单调递增，又∵，，，要使直线与的图像有个不同的交点，需要满足，解得，故选D。8．已知、、，则、、的大小关系为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】、、，构造函数，定义域为，，，当时，，∴在内单调递减，∴，∴在内单调递增，∴，即，∴，构造函数，定义域为，，∴在上单调递减，∴，即，∴，∴，故选C。【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中、，将化为的目的就是出现，以便与中的一致，从而只需比较与这两个函数大小关系即可。在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．设，，则下列不等式中，成立的是（）。A、B、C、D、【答案】ABD【解析】A选项，，对，B选项，∵，，∴，对，C选项，由对数函数的单调性可得，错，D选项，∵、，，∴，对，故选ABD。10．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）。A、B、C、D、【答案】BD【解析】A选项，函数的最小正周期为，错，B选项，函数的最小正周期为，当时，，∵在上单调递增，∴在上单调递增，对，C选项，函数最小正周期为，当时，，∵在上单调道减，∴在上单调递减，错，D选项，作出函数的大致图像如图所示，函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，对，故选BD。11．已知定义在上的函数图像连续，满足，且时，恒成立，则不等式中的可以是（）。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】由整理得，设，则有，∴为偶函数，∵时，恒成立，∴时，恒成立，∴在区间内单调递增，在区间内单调递减，又不等式等价于，即，根据的单调性和奇偶性可知，解得，故选ABC。12．已知函数，则以下结论正确的是（）。A、函数为增函数B、、，C、若在上恒成立，则自然数的最小值为D、若关于的方程（）有三个不同的实根，则【答案】BCD【解析】设时，则，∴，又，∴当时，，当时，则，∴，又，∴当时，，当时，则，∴，又，∴当时，，推测时，，作出的图像，由图像可知不是增函数，A选项错，由图像可知，，∴、，，B选项对，在同一坐标系中作出函数和函数的图像，如图所示，∴当时，恒成立，∴的最小值为，C选项对，令，则，则方程（）等价于（），即，∴（可取）或（舍去），在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图像，由图像可知，当时，即时，关于的方程（）有三个不同的实根，D选项对，故选BCD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知，则。【答案】或【解析】原式转化为，则，∴，则或，当时，∴，当时，，填或。14．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为。【答案】【解析】构造函数，定义域为，，则在上单调递减，又函数是定义在上的奇函数，则是定义在上的偶函数，则在上单调递增，做草图，则的解集为，又由函数性质可知当时与的解集相同，即。15．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是。【答案】【解析】作出与的图像，①当时，与的图像有唯一一个交点，不符合题意，②当时，与的图像有唯一一个交点，不符合题意，③当时，当时，，当为的切线时，即有唯一一个解，则中，即，即时，与的图像有唯一一个交点，由图像可知，当时，与的图像有三个交点，∴。模板：函数的零点：①解方程的根；②做函数的图像与轴交点的横坐标；③做函数与的图像的交点的横坐标。16．定义在上的函数满足：、，若，则，。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】【解析】由可得：，即，即，∴，∴，∴，∴函数的一个周期为，∵，∴，在中，令，则，∴，在中，令，∴，∴，∵，∴，∴函数的图像关于直线轴对称，∵函数的一个周期为，∴，∴，∴，∴函数的图像关于直线轴对称，∵，∴，，由知，∴，∴，∵的一个周期为，∴。（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：即。（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：即。特殊的：函数与的图像关于直线成轴对称。互为反函数的两个函数关于直线对称。（3）若（）是周期函数，是它的一个周期。若，则是周期函数，是它的一个周期。①若对任何都有，则是以为周期的函数；②若对任何都有（），则是以为周期的函数；③若函数有两条对称轴，，则是以为周期的函数，若偶函数的图像关于直线（）对称，则是以为周期的函数；④若函数的图像关于点和点（）对称，则是以为周期的函数，若奇函数的图像关于点（）对称，则是以为周期的函数；⑤函数的图像关于直线和点（）对称，则是以为周期的函数，若奇函数的图像关于直线（）对称，则是以为周期的函数；⑥若函数满足（），则是以为周期的函数；⑦若奇函数满足（），则。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分分）已知函数（）。（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。【解析】（1）的定义域为，，1分由题意可知，则，解得，2分∴，令，即，解得或，4分极小值∴在上的最小值是，最大值是；6分（2）由题意得：在区间上恒成立，∴，7分又当时，是增函数，其最小值为，∴，9分即实数的取值范围为。10分18．（本小题满分分）已知函数（，，）。在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：（1）求函数的解析式，并直接写出函数的单调递增区间；（2）已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值。【解析】（1）依题意，解得，又，∴，2分令，，解得，，∴函数的单调递增区间为，；4分（2）∵，∴，5分令，则，，解得，，6分令，则或，，解得或，，9分∵当函数的定义域为（）时，其值域为，令，则，此时，，此时。12分19．（本小题满分分）函数的最小值为，，（1）求；（2）若，求实数及此时的最大值。【解析】（1）∵，若，即，则当时，有最小值，若，即，则当时，有最小值，若，即，则当时，有最小值，∴；6分（2）若，由所求的解析式知只能是或，由解得或（舍），由解得（舍），此时，得，∴，∴有，此时的最大值为。12分20．（本小题满分分）已知函数，。（1）讨论函数的单调性；（2）若，求函数在上的最大值和最小值。【解析】（1）的定义域为，，1分令，得或，当时，恒成立，在上单调递增，2分当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减，3分当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；4分（2）由（1）得，或为函数的两个极点，，，，5分∵，∴，6分，7分∴，∴不是最值，舍去，8分，∴，为最大值，9分，10分当时，为最小值，当时，为最小值，11分∴最大值为，当时，最小值为，当时，最小值为。12分21．（本小题满分分）已知实数（）。（1）若时，有解，求实数的取值范围；（2）若恒成立，求的最大值。【解析】（1）∵的定义域为，，∴，若时，有解，只需，1分设，定义域为，，令，解得，2分当时，∴在区间内单调递增，当时，∴在区间内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，，4分∴，∴；5分（2）∵的定义域为，，6分若，即时，恒成立，∴在区间内单调递减，又时，与题意不符合，舍去，7分若，即时，令，解得，当时，∴在区间内单调递减，当时，∴在区间内单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，∴，9分∴，∴，设，定义域为，10分∴，令，解得，又，∴在内单调递增，∴在内单调递减，∴在处取得极大值也是最大值，，∴当、时，有最大值为。12分22．（本小题满分分）已知函数（）。（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若，证明：，总有。【解析】（1）定义域为，，1分若函数存在单调减区间，则有解，2分而恒成立，即有解，3分∴，又，∴；4分（2）证明：当时，，，5分，由，有，从而，要证原不等式成立，只要证，7分即证，对恒成立，首先令，则，8分当时单调递增，当时单调递减，∴，有（当且仅当时等号成立），9分构造函数，，∵，当时，，即在上是减函数，当时，，即在上是增函数，∴在上，，∴，∴当且仅当时，，等号成立，11分综上所述，，由于取等条件不同，∴，即，∴原不等式成立。12分