舒适练习006（解析版）一、单选题1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由虚数单位的性质求得，再利用复数的四则运算求得，从而得解.【详解】因为，所以，故，所以的虚部为.故选：A.2．已知集合，则中元素的个数为（    ）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量数量积的运算律和夹角公式求解.【详解】由题意，得，即，所以，所以，故选:C．4．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．离心率为黄金比的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线的右顶点为A，虚轴的上端点为B，左焦点为F，则（    ）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的顶点和上端点的定义，结合双曲线的离心率公式、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．【详解】由题意可得：，，，因为，则，，则，可得，即．故选：B.5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用辅助角公式化简，结合函数单调性，列出不等式组，解出实数ω的取值范围，进而求出答案.【详解】，由题意可得：，则，解得，若，则，∵函数在区间上单调递减，则，解得，故实数的取值范围为.故选：C.6．已知随机变量X服从正态分布，下列四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析判断.【详解】因为、均等价于，由题意可得：乙、丙均为真命题，且，对于甲：因为，故甲为真命题；对于丁：因为，故丁为假命题；故选：D.7．在正四棱台中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得，由求得表面积公式求得球体的表面积.【详解】如图所示的正四棱台，，取上下两个底面的中心，连接，，，过点作底面的垂线与相交于点，因为四棱台为正四棱台，所以外接球的球心一定在上，在上取一点为球心，连接，则，设，因为，所以，，在中，，即，在中，，即，解得，所以，故选：A.8．已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇偶性和对数函数单调性可得在上单调递增，则可转化为在时恒成立，即，求的最小值即可解出.【详解】的定义域为，且，所以为奇函数，且当时，单调递增，所以在上单调递增，，即在恒成立，所以，即有，所以，设，，因为，所以，单调递增，，所以，所以.故选：A9．已知，则下列结论正确的是（    ）A．的最小值为 B．的最大值为1C．的最小值为 D．的最小值为3【答案】C【分析】根据已知条件结合均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解.【详解】.对于A，，当且仅当时取等号，故错误；对于，当时，，故错误；对于，，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当，即时，等号成立，这与已知不符合，故等号不成立，故错误.故选：C.二、多选题10．设为定义在R上的函数，且，，在上单调递减，下列说法正确的是（    ）A．函数的图象关于y轴对称B．函数的最小正周期为2C．D．函数在上单调递减【答案】ABC【分析】对于A，由进行判断，对于B，由进行判断，对于CD，利用周期和已知的单调性判断.【详解】对于A，因为为定义在R上的函数，，所以，所以为偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，所以的最小正周期为2，所以B正确，对于C，因为为偶函数，在上单调递减，所以在上递增，因为的最小正周期为2，所以在，上递增，所以，所以C正确，对于D，因为的最小正周期为2，所以在和在的单调性一致，因为在上递增，所以在上递增，所以D错误，故选：ABC11．已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（    ）A．若直线l与圆M相切，则B．当时，四边形的面积为C．直线经过一定点D．已知点，则为定值【答案】ACD【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，解得，所以A正确；对于B，当时，，，，因为为圆的两条切线，所以，所以四边形的面积，所以B错误；对于C，因为，，且，所以四点共圆，且为直径，所以该圆圆心为，半径为，所以圆的方程为：，因为是该圆和圆的相交弦，所以直线的方程为两圆方程相减，即，化简可得：，所以直线经过定点，所以C正确；对于D，因为，所以，因为在直线上，所以即点C在以为直径的圆上，因为，，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为：，圆心为，因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．故选：ACD12．已知直三棱柱中，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）A．无论点在上怎么运动，都有B．当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球表面积为C．若三棱柱，内放有一球，则球的最大体积为D．周长的最小值【答案】ABD【分析】由题知两两垂直，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，进而利用判断A；根据向量求解线面角得是的中点时直线与平面所成的角最大，进而求解几何体的外接球判断B；根据内切圆的半径为判断C；根据是的中点时求解判断D.【详解】解：因为直三棱柱中，平面，因为平面，所以，因为所以，两两垂直，故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，因为是的中点，为的中点，点是上的动点则，，，，，，，对于A选项，，，故，，A正确；对于B选项，由题已知平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为，所以，，当且仅当时等号成立，此时是的中点，，此时中点到点的距离均为，故三棱锥的外接球心为，半径为，所以，三棱锥的外接球表面积为，故B正确；对于C选项，三棱柱，内放有一球，当球的体积最大时，为该三棱柱的内切球，由于内切圆的半径为，故三棱柱内切球的半径为，其体积不等于，故C错误；对于D，当是的中点时，此时，，此时，即，所以当是的中点时，，即取得最小值，分别为因为所以，周长的最小值，故D正确.故选：ABD三、填空题13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为．（用数字作答）【答案】8【分析】先把甲乙两名同学分到两个班，再将剩余两名同学都分给一个班或者每个班分配一人即可.【详解】先把甲乙两名同学分到两个班，共有种分配方式；再将剩余两名同学都分给一个班或者每个班分配一人，共有；故所有的分法有种.故答案为：8.【点睛】本题考查简单排列和组合问题，属基础题.14．设等差数列的前项和为，若,则=．【答案】．【详解】试题分析：等差数列中，，∴，∴，∴考点：等差数列．15．已知函数，，若存在2个零点，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】等价于函数的图象和直线有两个交点，画出函数图象和直线，数形结合分析即得解.【详解】解：令，即函数的图象和直线有两个交点.显然直线过定点,直线的斜率为.在同一直角坐标系下作出函数的图象和直线，当时，函数的图象和直线有两个交点.故答案为：16．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的任意一点，满足的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比.【答案】或【分析】设,由椭圆定义和可得，而从而可解.【详解】设，因为所以，在Rt中，由勾股定理，得，①又因为，所以由椭圆的定义得，②联立①②并化简得：，显然点不在坐标轴上，若点在第一或第四象限，则，因为是的平分线，所以；若点在第二或第三象限，则，因为是的平分线，所以.故答案为：或四、双空题