舒适练习010（解析版）一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求出集合，再求交集即可.【详解】由得，故，所以，又，所以．故选：B．2．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D.3．若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，令的指数为，即可求出，从而得到的特征，即可判断求解.【详解】二项式展开式的通项为，令，解得：，又因为且为整数，所以为的倍数，所以，故选：.4．已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平面向量模的坐标表示求得，再利用平面向量数量积与模求得向量，夹角的余弦值.【详解】依题意，设与夹角为，因为，，，所以.故选：C.5．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概率模型求解.【详解】这8个素数中，任取2个不同的数，有如下基本事件：共有28个基本事件，这两个数之和仍为素数的基本事件有：共4个，所以这两个数之和仍为素数的概率是，故选:C.6．已知，，则的值为 A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求得，再由倍角公式求解的值．【详解】解：由，，得，．故选C．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．7．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的横坐标为，设直线，将代入，得，则，解得，故直线l的方程为．故选：C．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．8．已知a，b，c满足，，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】构造函数，利用其单调性，分，，讨论即可.【详解】由题意得，即，则，则，令，根据减函数加减函数为减函数的结论知：在上单调递减，当时，可得，，两边同取以5为底的对数得，对通过移项得，两边同取以3为底的对数得，所以，所以，所以，且，故此时，，故C,D选项错误，时，，，且，故A错误,下面严格证明当时，，，根据函数在上单调递增，且，则当时，有，，，下面证明：，要证：，即证：，等价于证明，即证：，此式开头已证明，对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得，则故当时，，则当时，可得，，两边同取以5为底的对数得，对通过移项得，两边同取以3为底的对数得，所以，所以，所以，且，故，故此时，，下面严格证明当时，，当时，根据函数，且其在上单调递减，可知，则，则，根据函数函数在上单调递增，且，则当时，，下面证明：，要证：即证：，等价于证，即证：，此式已证明，对，左边同除分子分母同除，右边分子分母同除得，则，故时，，则当时，，则，，综上，，故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数，利用其单调性及，从而得到之间的大小关系，同时需要先求出的范围，然后再对进行分类讨论.二、多选题9．居家学习期间，某学校发起了“畅读经典，欢度新年”活动，根据统计数据可知，该校共有1200名学生，所有学生每天读书时间均在20分钟到100分钟之间，他们的日阅读时间频率分布直方图如图所示．则下列结论正确的是（    ）A．该校学生日阅读时间的众数约为70B．该校学生日阅读时间不低于60分钟的人数约为360C．该校学生日阅读时间的第50百分位数约为65D．该校学生日阅读时间的平均数约为64【答案】ACD【分析】结合频率分布直方图，逐一计算判断即可.【详解】对于A，由图可知众数约为，故A正确；对于B，阅读时间不低于60分钟的人数约为(0.02+0.01）×20×1200=720，故B错误；对于C，[20，60)的频率为（0.005+0.015)×20=0.4，[60，80)的频率为0.02×20=0.4，∴第50百分位数为，故C正确；对于D，平均值为30×0.005×20+50×0.015×20＋70×0.02×20+90×0.01×20=64，故D正确；故选：ACD10．已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（    ）A．若，，且，则ABCD是平行四边形B．若M是AB中点，N是CD中点，则C．若，，，则CD在上的射影是BDD．直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等【答案】ABD【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解.【详解】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是的中位线，所以，因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；对于C，若，所以由线面垂直的判定可得平面ABC，所以，由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D,所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；对于D,由二面角的定义可得当且仅当时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.故选：ABD.11．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ）A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5C．面积的最大值为4 D．的最大值为18【答案】ABD【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.【详解】设动点，则由得：，即，化简得：，即，所以A选项正确；所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；又，因为（），所以（），则，所以D选项正确；故选：ABD.12．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（    ）A．函数的图象不经过第三象限B．函数在R上单调递增C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D．函数不存在零点【答案】ACD【解析】根据函数的解析式，分类讨论作出函数的图象，结合图象可判定A准确，B不正确，根据两点间的距离公式和椭圆的方程，可判定C正确，根据双曲线的几何性质和函数的零点的定义，可判定D正确.【详解】由题意，方程，当时，，表示椭圆在第一象限的部分；当时，，表示双曲线在第四象限的部分；当时，，表示双曲线在第二象限的部分；当时，，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，设点，则点满足时，，即则，当时，，所以C正确；令，可得，即，则函数的零点，即为函数与的交点，又由直线为双曲线和渐近线，所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，所以D是正确的.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，函数的单调性、函数的零点个数的判定，以及椭圆和双曲线的几何性质的综合应用，试题综合性强，属于中档试题.三、填空题13．已知函数，则．【答案】1【分析】结合分段函数的表达式，先求出，进而可求出.【详解】由题意，，则，所以.故答案为：.14．把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数为偶函数，则的最小正值为．【答案】【分析】先化简的解析式，再由平移得出的解析式，由为偶函数，所以，，从而可得出答案.【详解】由函数把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数即的图象．因为为偶函数，所以，，解得，，当时，取得最小正值，最小正值为．故答案为：15．等比数列中，，，则，．【答案】【分析】根据已知条件，求出等比数列的公比，然后将所求式子进行化简，利用等比数列的基本量进行计算.【详解】因为等比数列中，，，所以，所以.故答案为；【点睛】本题考查等比数列通项中基本量的计算，属于简单题.16．如图，在正四棱锥中，底边长4，高，是的中点，点在侧面内的一条线段上（包括边界）运动，并且总是保持.则这条线段的长度为.【答案】【分析】连接交于点，连接，过作交于点，连接并延长交于点，连接,根据已知条件证明面面,可得,再证明为中位线,求出的长后即可得到答案.【详解】解：连接交于点，连接，过作交于点，连接并延长交于点，连接.如图所示:∵为正四棱锥,∴，为、中点，面,又∵面,∴，,又∵，,∴面,∵，,∴,又∵，且,∴面,又∵面,∴面面,又∵面面，面面,∴,∴点在线段上运动,因为正方形的边长为4,∴,∵，,∴,∵，为中点,∴为中点,同理，为中点,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理和性质定理,考查了平面与平面平行的判定和性质定理,属于中档题.四、双空题