2024年高考数学综合基础卷【赢在寒假】山东专用（三）班级_______姓名：_______考号：_______单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，则A的子集共有（   ）个A．3 B．4 C．6 D．71.B【分析】求出，从而求出子集个数.【详解】由题设，，∴A的子集共有个．故选：B2．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．2.C【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】由已知可得，即，因此，函数的定义域为.故选：C.3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2022＝（）A．－2 B．－1 C．1 D．23.A【分析】根据递推式可求出即可归纳出数列是一个周期为3的周期数列，再根据周期性即可求出的值．【详解】a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，，，，……由此推理可得数列是一个周期为3的周期数列，所以.故选：A4．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（    ）A．10 B．20 C．25 D．504.D【分析】利用等差数列的性质求出，由基本不等式求出的最大值时，从而得到数列为常数列，求出【详解】∵，∴，由已知，得，∴，当且仅当时等号成立．此时数列为常数列5，所以，故选：D5．已知函数，且（其中e为自然对数的底数，为圆周率），则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．5．C【分析】根据函数的奇偶性，单调性和对数值,指数值的比较即可求解.【详解】由函数为奇函数有：，且：，结合函数为增函数有：，故选：C.6．如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（    ）A．90 B．324 C．360 D．4006．C【分析】先考虑重复的那个数字在其中三个位置上，再安排剩下的那个位置上的数字，根据分步乘法原理可得答案.【详解】根据题意，四个位置上恰有三个重复数字，可分两步完成，第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有种情况，第二步在剩下的9个数字中任选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况，故共有种，即密码个数为360个，故选：C7．函数y=的图象可能是A． B．C． D．7．D【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．已知函数若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．8．B【分析】首先判断函数在定义域上的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：因为，即，当时函数单调递增且，当时函数单调递增且，所以在定义上单调递增，所以等价于，即，解得或，即.故选：B多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（    ）A．事件A与事件B不互斥 B．事件A与事件B相互独立C． D．9．AD【分析】根据事件互斥的概念判断A，根据独立事件乘法公式判断BC，由条件概率公式直接求D.【详解】事件可共同发生不互斥，A对．，，即不独立，BC错．，D对，故选：AD．10．已知函数的部分图象如图，则（   ）A．函数解析式B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数在区间上的最小值为10．CD【分析】由图得到，求出其最小正周期为，再将点代入解析式，则可判断A，通过平移的原则得到将其向左平移才能得到，对C选项，直接代入检验即可，对D，整体换元法求出函数值域即可得到其最值.【详解】由题图知：，函数的最小正周期满足，即，则，所以函数．将点代入解析式中可得，则，得，因为，所以，因为，故A错误；将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B错误；由，当时，，所以，所以直线是函数图象的一条对称轴，故C正确；当时，，所以，即，即最小值为，故D正确．故选：CD.11．已知，，则下列命题成立的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．ABD【分析】利用基本不等式逐项判断.【详解】A.若，则，当且仅当时，等号成立，故正确；B.若，则当且仅当时，等号成立，故正确；C.若，则，当且仅当时，等号成立，故错误；D.若，则，当且仅当时，等号成立，故正确；故选：ABD12．已知函数，则（    ）A．B．C．若函数恰有个零点，则D．当时，12．BCD【分析】直接计算、的值，可判断A选项；利用函数在上的单调性可判断B选项；数形结合求出的取值范围，可判断C选项；求出不等式在时的解，数形结合可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，故，A错；对于B选项，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，因为，，，且，，，因为，所以，，即，所以，，且，，，所以，，即，B对；对于C选项，作出函数与的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象至多有两个交点，不合乎题意，当时，直线与函数的图象有无数个交点，不合乎题意，由题意可知，直线与函数的图象有个交点，则，解得，C对；对于D选项，当时，由可得，解得，当时，，结合图象可知当时，，D对.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共计20分）13．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为．13．【分析】分和两种情况，利用判别式法求解.【详解】解：当时，不等式可化为，无解，满足题意；当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；当时，要使得不等式的解集为，则解得．综上，实数a的取值范围是．故答案为：某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是．14．12【分析】分甲部门2名电脑编程人员和1名电脑编程人员两种情况讨论，按照分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得；【详解】解：由题意可得，①若甲部门要2名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案共有（种）．②若甲部门要1名电脑编程人员，则有3种情况；2名英语翻译人员的分配方法有2种．根据分步乘法计数原理，分配方案有（种）．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有（种）．故答案为：15.展开式中的常数项为.15．20【分析】时，，求出展开式的通项公式，令次数为0即为常数项；当时，求出展开式的通项，令次数为0即为常数项，再求和即可.【详解】当时，，展开式的通项公式为，令得，常数项为，当时，，展开式的通项公式为，令得，常数项为，所以展开式的常数项为.故答案为：.16.若函数在上为增函数，则取值范围为.16．【详解】函数在上为增函数，则需，解得，故填.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为，三个红球一个白球的概率为.(1)从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；(2)现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为，抽到三个小球的概率为，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球分数之和，求的分布列及数学期望.【详解】（1）记事件表示“抽取一个小球且为红球”，表示“箱子中小球为两红两白”，表示“箱子中小球为三红一白”，则.（2）由题意得的取值可以为，0，1，3，4，6，，，，，，.随机变量的分布列为：01346所以的分布列及数学期望为：.18．在中，角所对的边分别为.且.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值.【详解】（1），故，，，，，，故，可得，，，故或（舍去），即.（2）由，可得，再由正弦定理可得，，且为锐角三角形，可得.则，19．在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角，又于，于.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【详解】（1）过作，则四边形为矩形，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，因为与平面所成角，所以，所以，所以,，，设，所以，即,因为，所以,解得，所以，又因为，所以，即，又因为，，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，则为平面的一个法向量.,所以,即，又因为平面，平面,所以，又因为平面，所以平面，则为平面的一个法向量.则所以二面角的余弦值为.20．某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的.【详解】（1）设该容器的体积为，则，又，所以因为，所以.所以建造费用，因此，.（2）由（1）得，.由于，所以，令，得.若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.21．记为数列的前项和，已知是公比为2的等比数列.(1)求的通项公式；(2)证明：.【详解】（1）是公比为2的等比数列，，可得：.当时，，当时，满足.综上，；（2）由（1）知，，故，因此.22．设f(x)＝xex－mx2，m∈R.(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2.【详解】（1），，时，，当时，是单调递增函数，当时，是单调递减函数；时，令，得，当即时，或时，是单调增函数，时，是单调递减函数，当即时，或时，是单调增函数，时，是单调递减函数，当即时，，在上是单调增函数，综上所述时，在是单调递增函数，在上是单调递减函数；时，在，上是单调增函数，在是单调递减函数，时，在，上是单调增函数，在是单调递减函数，时，在上是单调增函数.（2）令，因为，所以，令，，两式相除得，，①不妨设，令，则，，代入①得：，反解出：，则，故要证即证，又因为，等价于证明：，构造函数，则，，故在上单调递增，，从而在上单调递增，.即.