2024届高三下学期开学摸底考02（新高考专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知全集，集合，，则（    ）A．或 B．或C．或 D．或2．已知，复数的实部与虚部相等，则a＝（    ）A． B． C． D．23．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ）A．2 B． C． D．4．调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为，它的图象大致为（    ）A． B．C． D．5．已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（   ）A． B． C． D．6．已知向量.若存在，使得，则（    ）A．0 B． C． D．7．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（    ）A． B．C． D．8．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知平面向量，，，，，，且，则（    ）A．与的夹角为B．的最大值为5C．的最小值为2D．若，则的取值范围10．下列关于随机变量的说法正确的是（    ）A．若服从正态分布，则B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则C．若服从超几何分布，则期望D．若服从二项分布，则方差11．在棱长为2的正方体中，，点M为棱上一动点（可与端点重合），则（    ）A．当点M与点A重合时，四点共面且B．当点M与点B重合时，C．当点M为棱的中点时，平面D．直线与平面所成角的正弦值存在最小值12．定义在上的函数同时满足：①，；②，，则下列结论正确的是（    ）A．B．为偶函数C．存在，使得D．任意，有第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若展开式中的系数为，则.14．已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为．15．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的序号是.①若过点，则的准线方程为        ②若过点，则③若，则点的坐标为        ④若，则.16．如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点，，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为．  四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为的中点，且．(1)求；(2)若，，求的面积．19．（12分）三棱柱中，别为中点，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，使我国一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国.某新能源汽车配件企业积极加大科研力度，生产效益逐步攀升.该企业在今年1月份至5月份的生产利润（单位：亿元）关于月份的数据如下表所示：月份12345生产利润（亿元）268910(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）(2)为扩大生产，该企业在M大学启动了校园招聘，分别招聘A、B两个工程师岗位，两个岗位都各设有3门笔试科目.M大学的硕士毕业生张无忌决定参加这次应聘，且每门科目考试是否通过相互独立.若张无忌报考A岗位，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中；若张无忌报考B岗位，每门笔试科目通过的概率均为.且张无忌只能报考A，B两个岗位中的一个.若以笔试中通过科目数的数学期望为依据作出决策，得出张无忌更有希望通过A岗位的笔试，试求的取值范围.附：参考数据：，，.相关系数.21．（12分）已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，证明点在定圆上，并求出定圆的方程．22．（12分）已知函数.(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)若函数有2个零点，求的取值范围.