专题01勾股定理在直角三角形中的应用勾股定理及逆定理的应用1．（2022春•长垣市期中）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ．【答案】15【分析】根据正方形的面积和勾股定理进行求解。【解析】解：由勾股定理得，正方形D的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C面积＝2+8+5＝15，【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．2．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：延长到点，使得，连接，如下图：由勾股定理得：，，，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．3．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（ ）A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米【答案】A【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．【详解】解：过点D作于点E，中（米）故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．4．（2022秋•南关区校级期末）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．【答案】135°【分析】根据勾股定理的逆定理进行求解。【解答】解：如右图所示，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度数为135°．已知直角三角形两边求第三边1．（2023春•丰宁县期末）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ABC是直角三角形时，对角线AC的长为（ ）A．5 B． C． D．4【答案】C【解答】解：若∠BAC＝90°，AC＝＝，∵2+2，∴对角线AC＝；若∠ABC＝90°，AC＝＝5，∵5＞2+2，∴对角线AC的长不符合题意，舍去；若∠ACB＝90°，不存在，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．2．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于．【答案】【分析】在和中，分别表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；【解析】解：∵于，∴，在和中，，，在和中，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．3．（2023春•蜀山区期末）如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．【答案】【分析】根据勾股定理及三角形的面积公式进行求解。【解答】解：设AB边上的高为h，∵AB＝＝5，∴5h＝3×3，∴h＝，∴AB边上的高是．4．（2023春·全国·八年级期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米【答案】B【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG=4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠COG=∠OAF，在△AOF与△OCG中，，∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，解得x=8.5．则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．5．（2021春·广东江门·八年级校考开学考试）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为.      【答案】36【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解：连接，    ，，，，，，，，，是直角三角形，，四边形的面积的面积的面积，故答案为：36【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（        ）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【答案】A【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴，∵AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC===2米．∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴，∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，∴EC===1.5米，∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是解题的关键．7．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1.（1）三角形是否是直角三角形？．（填“是”或“否”）（2）边上的高为．【答案】是2【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可解答；（2）先根据勾股定理可得，设边上的高为h，然后利用等面积法列方程求解即可．【详解】解：（1）∵,∴，∴三角形是是直角三角形．故答案为：是．（2）∵，∴，设边上的高为h．,即，解得，∴边上的高为2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等面积法等知识点，掌握勾股定理成为解答本题的关键8．（2023春•龙亭区期末）如图，一工厂位于点C．河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5km，CH＝2km，BH＝1.5km．（1）CH是否为从工厂C到河边最近的一条路（即CH与AB是否垂直）？请说明理由．（2）求AC的长．【答案】（1）CH与AB垂直，即CH是从工厂C到河边最近的一条路；（2）【分析】根据勾股定理的逆定理进行求解。【解答】解：（1）CH是从工厂C到河边最近的一条路，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝22+（1.5）2＝6.25，BC2＝6.25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°，∴CH与AB垂直，即CH是从工厂C到河边最近的一条路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x千米，AH＝（x﹣1.5）千米，CH＝2千米，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣1.5）2+22，解这个方程，得x＝，答：AC的长为千米．解决与勾股定理有关的面积问题1．如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则．  【答案】【分析】先分别算出、、的面积，然后根据勾股定理即可解答．【解析】解：∵，，∴∵∴．∵，，∴故答案为．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．2．（2023春•白云区期末）如图，在直线l上方有正方形①，②，③，若①，③的面积分别为4和16，则正方形②的面积为（ ）A．24 B．20 C．12 D．22【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC与△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴DE＝BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，∴②的面积为4+16＝20，故选：B．3．（2023春·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，，则该图形的面积．  【答案】96【分析】设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题．【解析】解：由题意得，设，则，∴，∵，∴，解得，∴∴该图形的面积为，故答案为：96．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用整体思想及方程思想是解题的关键．4．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点．(1)求证：；(2)若，，求折叠后的重叠部分阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论；（2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：如图，长方形沿对角线对折，使落在的位置，，，又四边形为矩形，，，而，在与中：；（2）四边形为长方形，，，，，设，则，，在中，，即，解得．折叠后的重叠部分的面积．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键．勾股定理在实际生活中的应用1．（2023春•贵港期末）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．【答案】4.55【解析】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，答：折断处离地面4.55尺．故答案为：4.55．2．（2023春·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是寸．【答案】101【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋10