专题04全等三角形模型训练一线三等角模型1．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为．    2．在中，，，直线经过点C，且于D，于E．  (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．3．综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：；(2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．手拉手模型4．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．5．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．  (2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．  (3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．  (4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．6．如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．  (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．半角模型7．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．8．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝ 度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．9．问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝ 度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．旋转模型10．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．  (1)如图1，可得___________；若，则___________．(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．11．如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．（1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）（2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由．（3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______．倍长中线模型12．如图，，，，，点M为的中点，，．13．如图，中，于点，，点在上，，连接．（1）求证：；（2）延长交于点，连接，求的度数；（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．14．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．截长补短模型15．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为．16．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．(1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．17．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．  (1)求的度数；(2)求证：．18．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．19．【初步探索】  (1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．20．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系．21．在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．(1)如图1，当时，则______°；(2)当时，①如图2，连接，判断的形状，并证明；②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．